Учебная работа № 4331. «Контрольная Математика, вариант 4
Учебная работа № 4331. «Контрольная Математика, вариант 4
Содержание:
«СОДЕРЖАНИЕ
Задание№1. 2
Задание№2. 3
Задание№3. 5
Задание№4. 6
Задание№5. 7
Задание№6. 8
Задание№7. 9
Задание№8. 10
Задание№9. 11
Задание№10. 12
Задание№11. 13
Задание№12. 14
Задание№13. 15
Задание№14. 16
Задание№15. 17
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 18
Задание №1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(-2; -3) и B(-1; 4).
Задание №2. Найти пределы:
а) ?lim??(x??/4)??(5sinx+8tg3x)/(2ctgx-cosx)? б) ?lim??(x?0)??(?sin?^2 2x)/(4x^2 )? в) ?lim??(x??)??(1+5/3x)^2x ?
Задание №3. Найти производные функций:
а) y=5/(x^3-3x^2+5) б) y=sin(6x-5)
Задание №4. Найти интервалы монотонности функций:
?(x)=1-x^3
Задание №5. Найти экстремумы функций:
y=x^4-2x^3-2x^2
Задание №6. Найти точки перегиба функций:
y=-x^3+3x^2
Задание №7. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:
y=3x^4+4x^3+1
на отрезке [-2,1].
Задание №8. Вычислить ускорение материальной точки в конце 3-й секунды, если точка движется по закону м.
Задание №9. Найти интегралы:
а) ??(2e^x-5cosx) dx б) ??(x^2 dx)/(1-2x^3 )
Задание №10. Вычислить определенные интегралы:
а) ?_0^(1/2)?dx/?(1-x^2 ) б) ?_1^2?(3x^4-x+5) dx
Задание №11. Тело движется прямолинейно со скоростью ?=0.2 t? м/с. Вычислить путь, пройденный телом за 2-ю с.
Задание №12. Вычислить приближенно интегралы по формуле прямоугольников:
?_0^10?(2x^2-1) dx n=10
Задание №13. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 5.
Задание №14. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
Х 2 4 6 6
Р 0,5 0,2 0,2 0,1
Задание №15. Ежедневное количество студентов, посещающих производственную практику, на протяжении ряда дней, следующие: 15, 17, 16, 18, 20, 21, 18, 17, 20, 15, 18, 17, 16, 19, 17, 20, 18, 19, 20 , 19.
Составить статистическое распределение выборки.
»
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
