Учебная работа № 3987. «Контрольная Математика 1 семестр
Учебная работа № 3987. «Контрольная Математика 1 семестр
Содержание:
«1) Матрицы и операции над ними
Теоретический материал:
1) Сложение (вычитание) матриц,
2) Умножение матриц на число, умножение матрицы А на матрицу В. 3) транспорирование матрицы
4) Возведение матрицы А в целую положительную степень 5) След матрицы 6) Обратная матрица
1.1. Найти матрицу , где
1 2 3 Вариант
Ответ
1.2. Даны матрицы
Показать, что
1.3. Дана матрица .Найти матрицу и её след.
Варианты ответа
1 2 3 Вариант
Ответ
?в=4
t?в=7 T?в=-9
1.4. Дана матрица найти матрицу :
1 2 3 Вариант
Ответ
1.5. Даны матрицы
Показать, что
2.Определители
Теоретический материал:
1)Свойства определителей.
2)Минор, алгебраическое дополнение.
3)Вычисление определителей.
4) Невырожденная матрица.
2.1. Вычислить определитель:
1 2 3 Вариант
0.5 0 1 Ответ
2.2. Вычислить определитель с помощью теоремы Лапласа:
1 2 3 Вариант
97 84 120 Ответ
2.3. Найти числовое значение х:
3, 1, 5
х – 1, 2, 10 =0
— 7, х + 2, 15
1 2 3 Вариант
Ответ
2.4. Решить систему методом Крамера:
3.Ранг матрицы.
Теоретический материал:
1) Ранг матрицы и свойства ранта матрицы.
2) Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы.
3) Эквивалентные матрицы.
4) Собственные значения и собственные векторы матрицы.
3.1. Определить ранг матрицы
1 2 3 Вариант
4 -3 2 Ответ
3.2. Найти максимальное число линейно независимых столбцов матрицы
3.3. Найти собственные значения матрицы
1 2 3 Вариант
2
3
7 9
4
2 6
-5
1
Ответ
3.4. Определить рант следующей системы векторов:
1 2 3 Вариант
2 3 4 Ответ
4.Системы линейных уравнений
Теоретический материал:
1) Общий вид, матричная форма и табличная форма системы m линейных уравнений с n неизвестными.
2) Теорема Кронекера-Капелли.
3) Совместная и несовместная система, общее решение, базисные и свободные неизвестные, базисное решение.
4) Метод Гаусса, метод Жордоне -Гаусса, матричный метод.
4.1. Решить систему матричным методом
4.2. Решить систему методом Крамера
4.3. Решить систему: методом Гаусса
5. Уравнение прямой на плоскости
Теоретический материал:
1) уравнение прямой (общее, с угловым коэффициентом , в отрезках),
2) расстояние между двумя точками
3) Расстояние d от точки до прямой .
4) Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
5) Уравнение прямой , проходящей через две точки и .
5.1. Даны точки А(-1,-3),В(4,2).Найти длину отрезка и его направление .
1 2 3 Вариант
=4
=
=
=
Ответ
5.3. Дано общее уравнение прямой 12х-3у-65=0. Написать уравнение:
— с угловым коэффициентом ,
— в отрезках,
— нормальное уравнение.
5.5. Составить уравнение прямой , проходящей через точки М(-1,3) и М(2,5).
6.Прямая и плоскость в пространстве
Теоретический материал:
1) уравнение плоскости (общее, в отрезках, нормальное).
2) угол между двумя плоскостями.
3) расстояние d от точки до плоскости.
4) уравнение плоскости, проходящей через три точки , и .
4) уравнение прямой в пространстве.
5) угол между двумя прямыми.
6) условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.
6.1. Уравнение плоскости 2х+3у-6z+21=0 привести к нормальному уравнению и уравнению в отрезках .
6.2. Определить расстояние от т. (3,5,-8) до плоскости 6х-3у+2z-28=0
1 2 3 Вариант
11
Ответ
6.3. Составить уравнение прямой, проходящей через т. (-1,0,5) параллельно прямой
6.4. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки (-1,0,5) и (2,-3,4)
Уравнения прямой, проходящей через точки и имеют вид
6.5.Найти sin угла между прямой и плоскостью
2х+3у-6z=2=0
1 2 3 Вариант
Ответ
6.6.Составить уравнение плоскости, проходящей через т.М(2,3,-1) параллельно плоскости 5х-3у+2z-10=0
7. Пределы и непрерывность
Теоретический материал:
1) Определение предела функции при и при .
2) Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
3) Первый и второй замечательные пределы.
4) Непрерывность функции. Разрывы 1-го и 2-го рода.
7.1. Найти предел
1 2 3 Вариант
Ответ
7.2. Найти предел
1 2 3 Вариант
4 -1 0 Ответ
7.3. Найти предел
1 2 3 Вариант
3
Ответ
7.4. Найти предел
1 2 3 Вариант
0 1 -1 Ответ
7.5. Исследовать на непрерывность функцию .В случае разрыва в т. х-1, установить характер разрыва.
1 2 3 Вариант
Непрерывна Разрыв 2-го рода Разрыв 1-го Ответ
8. Производная
Теоретический материал:
1) Определение производной.
2) Дифференцируемость и непрерывность функции.
3) Правила дифференцирования.
4) Производные высших порядков.
8.1. Определить, является ли функция непрерывной и дифференцируемой в точке х=0.
1 2 3 Вариант
непрерывна, не дифференцируема непрерывна, дифференцируема разрыв 1-го рода, не дифференцируема Ответ
8.2. Найти производную функции
1 2 3
8.3. Найти производную обратной функции у= х-cosx
1 2 3 Вариант
Ответ
8.4. Найти производную второго порядка функции
1 2 3 Вариант
Ответ
9. Приложение производной
Теоретический материал:
1) Правило Лопиталя.
2) Интервалы монотонности и экстремумы функции.
3) Интервалы выпуклости и точки перегиба.
4) Асимптоты. Исследование функций и построение графиков.
5) Дифференция функции.
9.1. Вычислить
1 2 3 Вариант
-2 2 0 Ответ
9.2. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
1 2 3
Х min=е,
У min =е,
Возрастает
На (е, ),
Убывает на (1,е) и на (0,е). X min=2e,
У min=2,
Возрастает на
(2е, ) ,
Убывает на
X max=е,
У max=е,
Убывает на (е, ),
Возрастает на (0,е).
9.3. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции
1 2 3
(0,0) –точка перегиба,
выпукла вниз на (0, ),
выпукла вверх на (- .0)
(0,0) точка перегиба,
выпукла вверх на (0, ),
выпукла вниз на
Точки перегиба нет.
Функция выпукла на всей числовой оси.
9.4. Найти асимптоты графика функции :
1 2 3
-вертикальные асимптоты;
У=0(ось абцисс)-
Двусторонняя горизонтальная асимптота.
Х=0 –вертикальная асимптота;
У=1-двусторонняя горизонтальная асимптота.
вертикальные асимптоты .
9.5. Найти дифференциал второго порядка функции
1 2 3
10. Неопределённый интеграл
Теоретический материал:
1) Первообразная функция и неопределённый интеграл.
2) Свойства неопределённого интеграла .Табличные интегралы.
3) Метод замены переменной.
4) Интегрирование по частям.
5) Интегрирование простейших рациональных дробей, некоторых видов иррациональностей, тригонометрических функций.
10.1. Найти интеграл
1 2
3
10.2. Найти интеграл
1 2 3
Xtgx+ +c
Xcosx- +c
tgx(1+ )+c
10.3. Найти интеграл
1 2 3
10.4. Найти интеграл
1 2 3
«11.Определённый интеграл
Теоретический материал:
1) Площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определённого интеграла.
2) Свойства определённого интеграла.
3) Формула Ньютона-Лейбница.
4) Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
5) Несобственные интегралы.
6) Вычисление площади плоской фигуры.
7) Вычисление объёмов тел вращения.
11.1. Вычислить определённый интеграл
1 2 3
7+2 2
17
11.2. Вычислить определённый интеграл
1 2 3
4+е е-2
11.3. Вычислить интеграл
(если он сходится)
1 2 3
расходится
11.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную параболой и осью х.
1 2 3
17
11.5. Вычислить объём тела, полученного от вращения фигуры, ограниченный линиями вокруг оси х.
1 2 3
111.5
73
24
12. Теория вероятностей
Теоретический материал:
1) Основные понятия комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания.
2) Операции над событиями: сложение вероятностей, условная вероятность, умножение вероятностей, формула полной вероятности, формула Бейса.
3) Независимые испытания, формула Бернулли. Приближённые формулы Лапласа и Пуассона.
4) Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
5) Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
12.1. В урне находятся 5 белых и 7 чёрных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.
1 2 3
12.2. Электрическая схема состоит из пяти последовательно соединённых блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока составляет 0.3,0.5,0.8,0.1,0.2.Считая выходы из строя различных блоков независимыми событиями, найти надёжность всей схемы в целом.
1 2 3
0.0024 0.017 025
12.3. При испытаниях по схеме Бернулли вероятность двух успехов в трёх испытаниях в 12 раз больше, чем вероятность трёх успехов в трёх испытаниях. Найти вероятность успеха в одном испытании.
1 2 3
0.5 0.3 0.2
12.4. С первого станка на сборку поступает 40% изготовленных деталей, со второго -30%, с третьего -30%.Вероятность изготовления бракованной детали для каждого станка равна соответственно 0.01,0.03,0.05.Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь оказалась бракованной.
1 2 3
0.12 0.028 0.06
12.5. Пусть Х -число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости. Найти дисперсию случайной величины Х.
1 2 3
»
Выдержка из похожей работы
2) найдите
расстояние между точками
ина комплексной плоскости,
Расстояние
между точками Z1
и Z3
есть модуль
их разности
Задание
3
Решите систему
уравнений тремя способами:
1) методом Крамера;
2) методом обратной
матрицы;
3) методом Гаусса,
Решение
задания 3,
Метод
Крамера
Запишем систему
в виде:
BT
= (-6,6,-4)
Найдем главный
определитель:
∆ = 2 х (-1 х 1-(-1 х
(-2)))-3 х (-2 х 1-(-1 х 1))+1 х (-2 х (-2)-(-1 х 1)) = 2 = 2
Заменим 1-ый столбец
матрицы А на вектор результата В,
Найдем определитель
полученной матрицы,
∆1
= -6 х (-1 х 1-(-1 х (-2)))-6 х (-2 х 1-(-1 х 1))+(-4 х (-2 х
(-2)-(-1 х 1))) = 4
Заменим 2-ый столбец
матрицы А на вектор результата В,
Найдем определитель
полученной матрицы,
∆2
= 2 х (6 х 1-(-4 х (-2)))-3 х (-6 х 1-(-4 х 1))+1 х (-6 х
(-2)-6 х 1) = 8
Заменим 3-ый столбец
матрицы А на вектор результата В,
Найдем определитель
полученной матрицы,
∆3
= 2 х (-1 х (-4)-(-1 х 6))-3 х (-2 х (-4)-(-1 х (-6)))+1 х (-2
х 6-(-1 х (-6))) = -4
Ответ: найденные
переменные:
; ; ,
2,
Методом обратной матрицы;
Обозначим
через А — матрицу коэффициентов при
неизвестных; X — матрицу-столбец
неизвестных; B — матрицу-столбец свободных
членов:
Вектор
B:
BT=(-6,6,-4)С
учетом этих обозначений данная система
уравнений принимает следующую матричную
форму: А*Х = B,Найдем
главный определитель,
∆=2•(-1•1-(-1•(-2)))-3•(-2•1-(-1•1))+1•(-2•(-2)-(-1•1))=2
≠ 0Транспонированная
матрица
Вычислим
алгебраические дополнения,
∆1,1=(-1•1-(-2•(-1)))=-3
∆1,2=-(-2•1-1•(-1))=1
∆1,3=(-2•(-2)-1•(-1))=5
∆2,1=-(3•1-(-2•1))=-5
∆2,2=(2•1-1•1)=1
∆2,3=-(2•(-2)-1•3)=7
∆3,1=(3•(-1)-(-1•1))=-2
∆3,2=-(2•(-1)-(-2•1))=0
∆3,3=(2•(-1)-(-2•3))=4
Обратная
матрица
Вектор
результатов X
X=A-1
• B
XT=(2,4,-2)
x1=4
/ 2=2
x2=8
/ 2=4
x3=-4
/ 2=-2
Ответ:
найденные
переменные: x1=4
/ 2=2;
x2=8
/ 2=4;
x3=-4
/ 2=-2
3) методом Гаусса,Запишем
систему в виде расширенной матрицы:
Умножим
1-ую строку на (3), Умножим 2-ую строку на
(-2), Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим
3-ую строку на (-3), Добавим 3-ую строку к
2-ой:
Умножим
2-ую строку на (2), Добавим 2-ую строку к
1-ой:
Теперь
исходную систему можно записать как:
x3
= 6/(-3)
x2
= [18 — ( — 5×3)]/2
x1
= [-4 — ( — x2
+ x3)]/1Из
1-ой строки выражаем x3
Из
2-ой строки выражаем x2
Из
3-ой строки выражаем x1
Ответ:
найденные
переменные: x1=2;
x2=4;
x3=-2
Задание
4
Даны три вектора
иДокажите, что векторыобразуют базис, и определите, какая это
тройка векторов: правая или левая
