Учебная работа № /8745. «Контрольная Линейная алгебра, 6 заданий
Учебная работа № /8745. «Контрольная Линейная алгебра, 6 заданий
Содержание:
«Задание 1
Для заданного определителя ? найти миноры и алгебраические дополнения элементов а42, а33. Вычислить определитель ?:
а) разложив его по элементам 4-ой строки;
б) разложив его по элементам 3-го столбца;
в) получив предварительно нули в 4-ой строке.
|?(?(0&4@-4&2) ?(1&1@1&3)@?(0&1@1&3) ?(2&-2@4&-3))|
Задание 2
Для матриц А и В найти: а) АВ; б) ВА; в) А-1; г) АА-1; д) А-1А.
A = (?(1&7&3@-4&9&4@0&3&2)), В = (?(6&5&2@1&9&2@4&5&2)) .
Задание 3
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
A = (?(4&1&0@1&4&0@-1&1&5)).
Задание 4
Проверить совместимость каждой системы уравнений и в случае совместимости решить её:
а) по формулам Крамера;
б) матричным методом;
в) методом Гаусса.
2х1 + 3х2 + 4х3 = 12, х1 — 5х2 + х3 = 3,
7х1 — 5х2 + х3 = -33, 3х1 + 2х2 — х3 = 7,
4х1 + х3 = -7, 4х1 — 3х2 = 1.
Задание 4
По координатам точек А(3; 4; -4), В(-2; 1; 2), С(2; -3; 1) для указанных векторов найти:
а) модуль вектора a ?=5(CB) ?+4(AC) ?;
б) скалярное произведение векторов a ? и b ?=(BA) ?;
в) проекцию вектора b ? на вектор d ?=(AC) ?;
г) координаты точки М, делящей отрезок ВА в отношении 2:5.
Задание 6
Доказать, что векторы a = (0;2;-3), b = (4;-3;-2), c = (-5;-4;0) образуют базис и найти координаты вектора d (-19;-5;-4) в этом базисе.
»
Выдержка из похожей работы
Содержание
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
Задание 9
Задание 1
Проверить совместность системы уравнений и, в случае совместности, решить ее:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) методом Гаусса,
,
Решение
1) Вычислим:
— система совместна;
Найдем x, y, z по формулам Крамера:
,
Иак, получаем ответ (3;-2;1),
2) Составляем матричное уравнение ,
где , , ,
Найдем все алгебраические дополнения матрицы A:
Составляем матрицу и транспонируем ее:
,
Запишем обратную матрицу:
,
Следовательно,
,
Итак, получаем ответ (3;-2;1)
3) Решим систему методом Гаусса:
,
Тогда
Ответ: (3;-2;1),
Задание 2
По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти:
а) модуль вектора ; б) скалярное произведение векторов и ; в) проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки M, делящей отрезок l в отношении : , и , , , , , , ,
Решение
Найдем векторы
,
,
1) ,
2) ,
3) Проекция вектора на вектор равна:
,
Тогда ,
4) Координаты точки М, делящей отрезок l в отношении , находятся по формулам:
,
,
,
Значит, M(;;),
Задание 3
Даны векторы , Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, найти координаты вектора в этом базисе: (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0), (33;-4;23;3),
Решение
Векторы (2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0) образуют базис, так как:
,
Обозначим координаты вектора в новом базисе , Тогда в новом базисе будем иметь:
,
,
получим систему уравнений:
,
Вычислим:
— система совместна;
Найдем x, y, z, q по формулам Крамера:
;
,
Итак, получаем ответ ,
Задание 4
Даны вершины , и треугольника,
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС, Сделать чертеж,
Решение
Рисунок 1
1) ;
2) ; ,
По теореме косинусов:
,
Тогда угол A равен 29,5″
