Учебная работа № /8507. «Контрольная Высшая математика. Вариант 8
Учебная работа № /8507. «Контрольная Высшая математика. Вариант 8
Содержание:
Контрольная работа.
Вариант 8.
Задача №1.
Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
1) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;
2) угол А в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой;
3) уравнение высоты CD и ее длину;
4) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD.
Сделать чертеж.
А(1;0) В(13;-9) С(17;13)
Задача №2
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) уравнение плоскости А1А2А3 и угол между ребром А1А4 и плоскостью А1А2А3;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 и ее длину;
5) площадь грани А1А2А3 и объем пирамиды.
Сделать чертеж.
А1(4;2;1) А2(1;2;7) А3(-1;0;3) А4(4;1;3)
Задача №3
Сделать чертеж и составить уравнение линии расстояние каждой точки которой от точки А(0;3) втрое больше расстояния от точки В(9;0).
Задача №4
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от до , придавая значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной си¬стеме координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положи¬тельная полуось ОХ — с полярной осью; 3) определить вид линии по ее уравнению в де¬картовой системе координат; 4) сделать чертеж.
Задача №5
Решить систему линейных уравнений двумя способами:
1) методом Крамера;
2) используя обратную матрицу.
Задача №6.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Задача№7
Исследовать кривую второго порядка и построить ее график
Выдержка из похожей работы
Решение,
а) Найдем координаты вектора А1В1 по формуле
где — координаты точки А1, -координаты точки В1,
Итак ={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}, Тогда = =,
Итак, длина отрезка, (или длина векторе) равна , Это и есть искомая длина ребра,
б) Координаты ={3;-5;-2} уже известны, осталось определить координаты вектора ={6- (-2); 2 — 2; 4 — 2}= {8,0; 2},
Угол между векторами и вычислим по формуле
cos ? = (А1В1, А1С1)
А1В1· А1С1
где скалярое произведение векторов А1В1 и А1С1 равно (,)=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,
=, ==,
Итак, cos ? = 20 = 10
·
в) Координаты точки А1(-2,2,2) обозначим соответственно Х0 = -2, У0 = 2, Z0 = 2, а координаты точки В1(1,-3,0) через X1 = 1, У1 = -3, Z1 = 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:
,
Следовательно, уравнение ребра имеет вид
,
г) Обозначим координаты векторов, и через Х1=3, У1= -5, Z1= -2 и Х2=8, У2= 0, Z2=2 соответственно, Векторное произведение данных векторов определяется формулой
·A1C1 = {Y1·Z2-Y2·Z1;Z1·X2-Z2·X1;X1·Y2-X2·Y2} =
= {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}
Так как данный вектор перпендикулярен грани С1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х0 У0, Z0) перпендикулярно вектору {А;В;С}, которое имеет вид A·(X-X0)+B·(Y-Y0)+С·(Z-Z0)=0,
Подставим координаты точки А1 (Хо= -2, У0=2, Z0=2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:
— 10 ( X + 2 ) — 22 (У — 2) т 40 ( Z- 2) — 0, Раскроем скобки и приведем подобные члены — 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0, Итак, уравнение грани,C1 имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или -5х- lly + 20z-28=0,
ЗАДАЧА 2,
Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
Решение,
а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см,[2] глава 10, стр, 268), Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Решение,
а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера ( см, [2] глава 10, стр, 268),
Тогда , где
Так как ?x= -60; ?y= -60; ?z=60; ?= -120, то x=; y=; z=,
6) решим данную систему уравнений методом Гаусса, Метод Гаусса состоит в том, что �� помощью элементарных преобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы,
Составим расширенную матрицу данной системы,
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица, Получим матрицу»
