Учебная работа № /8127. «Контрольная Числовые множества и функции. Числовые последовательности и их пределы, задания
Учебная работа № /8127. «Контрольная Числовые множества и функции. Числовые последовательности и их пределы, задания
Содержание:
«Числовые множества и функции. Числовые последовательности и их пределы»
1. Привести пример двух множеств, пересечение которых пусто, а объединение – все множество действительных чисел.
2. Пояснить, чем отличаются друг от друга табличный, аналитический и графический способы задания функции
3. Доказать формулу для произведения двух комплексных чисел в тригонометрической записи, а также формулу деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
4. Привести пример числовой последовательности, которая является ограниченной, но не имеющей предела. Затем привести пример двух расходящихся последовательностей, произведение которых – сходящаяся последовательность.
Справедливо ли утверждение о том, что сумма двух расходящихся числовых последовательностей всегда является расходящейся последовательностью? В случае отрицательного ответа следует указать соответствующий пример
«Предел и непрерывность числовых функций. Производная и дифференциал функции»
1. Обосновать эквивалентность определений предела функции на языке “e–d” и языке последовательностей (определения по Коши и по Гейне).
( Гейне ) ( Коши )
2. Привести примеры тригонометрических ( ), обратных тригонометрических ( ), показательных ( ) и логарифмических функций ( , являющихся бесконечно малыми при x®0.
3. В чем различие между точками непрерывности функции и точками разрывов? Ответ пояснить примерами.
4. Пояснить, почему функции
f(x) = |x|, f(x) = {sin(1/x), x¹0; 0, x=0}, f(x) = {x×sin(1/x), x¹0; 0, x=0}
не имеют в точке x0 = 0 производную.
Проиллюстрировать на графике геометрический смысл производной и дифференциала функции одной переменной
5. Проинтерпретировать теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа с помощью графических построений на координатной плоскости.
6. Провести полное исследование и построить графики следующих функций:
y = x1 + x2 , y = x•arctg(x), y = x3 − 6×2 + 2
«Пределы функций многих переменных. Частные производные и дифференциалы первого порядка. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению и градиент»
1. Привести (с обоснованием) пример функции двух переменных, которая не имеет предела в данной точке.
2. Пусть функция многих переменных имеет все частные производные первого порядка в данной точке. Следует ли из этого факта дифференцируемость указанной функции? Ответ пояснить на примере.
3. Выписать общую формулу для вычисления всех частных производных первого порядка функции z(x1, x2,…, xn). Убедиться, что результат этих вычислений можно представить в матричном виде.
4. Пусть функция трех переменных имеет вид f(x, y, z) = x3 y2 sin(z). Убедиться, что . Будет ли частная производная четвертого порядка равна двум указанным частым производным того же порядка? Результат пояснить.
5. Используя определение производной по направлению пояснить, почему градиент функции определяет направление наибольшего роста функции в рассматриваемой точке.
6. Применяя символическую биноминальную формулу для дифференциала произвольного порядка функции многих переменных, выписать формулу для дифференциала четвертого порядка d4f(x, y) функции двух переменных f(x, y).
Выдержка из похожей работы
2, Определитель квадратной матрицы второго порядка, Формулы Крамера,
3, Определитель третьего порядка, Алгебраические дополнения, теорема о разложении определителя третьего порядка,
4, Матричное решение системы уравнений,
5, Исследование систем линейных уравнений, Метод Гаусса,
6, Комплексные числа (определение), Мнимая единица, Форма записи,
7, Операции с комплексными числами (определение, свойства),
8, Геометрический смысл операций с комплексными числами,
9, Извлечение корня из комплексного числа,
10, Геометрическое изображение комплексного числа, Модуль и аргумент комплексного числа, Формула Муавра,
11, Основная теорема алгебры,
12, Прямоугольные координаты на плоскости, Расстояние между двумя точками плоскости,
13″
