Учебная работа № /8039. «Контрольная Линейная алгебра и аналитическая геометрия, вариант 4

Выдержка из похожей работы

Так как количество столбцов матрицы: А равно количеству строк матрицы В, то произведение А на В существует,
Итоговая матрица имеет размерность :
Ответ:

2, Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса

Решение:
а) Решим систему по формулам Крамера
Для системы 3-х линейных алгебраических уравнений
если 0, можно найти единственное решение по формулам Крамера:
, , ,
? =; 1= ; 2= ; 3= ;
Найдем значение определителя ? по формуле:
Аналогично вычислим значения определителей 1, 2, 3
? =2·1·3 +4·2·(-2)+4·(-5)·(-1) — (-2)·1·(-1) — 4•4·3-2·2·(-5)= -20 0
1=-8·1·3 +4·2·18+14·(-5)·(-1) — 18·1·(-1) — 14•4·3 — (-8)·2·(-5)=-40
2 =2·14·3 +(-8)·2·(-2)+4·18·(-1) — (-2)·14·(-1) — 4•(-8)·3-2·2·18=40
3=2·1·18 +4·14·(-2)+4·(-5)·(-8) — (-2)·1·(-8) — 4•4·18-2·14·(-5)=-80

Сделаем проверку:
Получили равенства,
Ответ:
б) Решим систему матричным методом
Систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде: А • X = В, где А — матрица системы из коэффициентов при неизвестных,
Х и В-матрицы — столбцы из неизвестных , , и свободных членов соответственно:
, ; ,
Для нахождения неизвестных используется формула Х = А-1 • В, где А-1 — обратная матрица к квадратной матрице А
Обратная матрица вычисляется по формуле:
А-1=•АТ, где АТ = — транспонированная матрица к
— главный определитель матрицы А,
Аij — это алгебраическое дополнение равное Aij = (-1)i+jМ
Минор — это определитель, полученный из главного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца
Для исходной системы:

Найдем обратную матрицу, Значение главного определителя известно:
? =-20 0
Найдем алгебраические дополнения Аij:

;
Умножая обратную матрицу А-1 на , получаем матрицу ,
Ответ:
в) Решим систему методом Гаусса
Это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы,
В первом уравнении выбираем коэффициент, отличный от нуля, Затем 1-ое уравнение делим на этот коэффициент, и далее с помощью первого уравнения исключаем первое неизвестное из всех уравнений, кроме первого (вычитанием),
Применим метод Гаусса, составив таблицу:

Комментарий

2
4
-2

4
1
-5

-1
2
3

-8
14
18

1
4
-2

2
1
-5

-1/2
2
3

-4
14
18

1-ю строку разделили на 2

1 шаг

1
0
0

2
-7
-1

-1/2
4
2

-4
30
10

1-ю строку умнож, на (-4) и склад, со 2-й
1-ю строку умнож, на 2 и складыв, с 3-й

2 шаг

1
0
0

2
1
-1

-1/2
-4/7
2

-4
-30/7
10

2-ю строку разделили на (-7)

3 шаг

1
0
0

2
1
0

-1/2
-4/7
10/7

-4
-30/7
40/7

2-ю строку слож, с 3-й

4 шаг

1
0
0

2
1
0

-1/2
-4/7
1

-4
-30/7
4

3-ю строку делим на 10/7

После проделанных операций система привелась к треугольному виду
Начинаем обратный ход метода Гаусса,
Ответ:
3, Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в пространстве R3, и найти координаты вектора а в этом базисе,

Решение

Вычислим определитель, столбцами которого служат координаты векторов а1, а2, а3:

Так как Д ? 0, то система векторов а1, а2, а3 образует базис в R3, Вектор а4 разлагается по векторам этого базиса, т,е, справедливо равенство вида
Последнее равенство в координатной форме имеет следующий вид:
Согласно определению равенства векторов и действиям над векторами получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными:
Решим эту систему методом Крамера:

Ответ:

4, Определить ранг заданной матрицы

Решение
Методом окаймляющих миноров найдем ранг матрицы,
Высший порядок миноров матрицы А — третий, Вычислим эти миноры,
Вычислим сначала угловой минор второго порядка:
Он отличен от нуля,
Составим и вычислим два минора третьего порядка, которые окаймляют этот минор, Один из таких миноров — угловой минор:
,
Следующий минор:
Все миноры третьего порядка равны нулю,
Следовательно, ранг матрицы А равен двум,
Ответ:

5″