Учебная работа № /7821. «Контрольная Высшая математика, 5 задач

Выдержка из похожей работы

Ушакова»
ЗАОЧНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
Специальность: «ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ»
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
СТУДЕНТКИ ЗАОЧНОГО ФАКУЛЬТЕТА
1 КУРСА
ГОРБАТЕНКО А, П,
Г,НОВОРОССИЙСК
2011г,

Содержание
Часть 1
Часть 2
Часть 3
ПРИЛОЖЕНИЯ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Часть 1
По координатам вершин пирамиды найти:
1) длины ребер и ,
2) угол между ребрами и ,
3) площадь грани ,
4) объем пирамиды;
5) уравнения прямых и ,
6) уравнения плоскостей и ;
7) угол между плоскостями и ,
Условие:
, , , ,
Решение:
1) Длину ребер и найдем по формуле расстояний между двумя точками:
i=
2) Угол ? между ребрами А1А2 и А1А3 равен углу между векторами A1 A2 и A1 A3 , Найдем координаты этих векторов:
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
cos
Найдем угол между ребрами и
3) Площадь грани,
Площадь грани можно найти по формуле:
где
Найдем площадь грани
Найдем угол между ребрами и:
Площадь грани

4) Объем пирамиды,
Найдем координаты векторов, описывающих пирамиду:
А1 (-1, -1, 1)
А2 (-1, -2, 5)
А3 (-3, -1, 1)
А4 (-1, 0, 3)
Поочереди вычитая из координат точки А1 соответсятвуующие координаты остальных точек:
вектор №1 (0, 1, -4)
вектор №2 (2, 0, 0)
вектор №3 (0, -1, -2)
Запишем матрицу, найдем определитель ?:
?= =0*0*(-2)+2*(-1)*(-4)+1*0*0-0*0*(-4)+(-1)*0*0+2*1*(-2)=8+4=12
Определитель данной матрицы в 6 раз больше объма пирамиды:
V=
5) Уравнение прямых и
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой
Уравнение прямой
6) Уравнение плоскостей и
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости
(x+1)((-1) * 0-0 * 4) — (y+1)(0 * 0-(-2) * 4) + (z-1)(0 * 0-(-2) * (-1)) = 0x — 8y — 2z + 6 = 0
Уравнение плоскости
(x+1)((-1) * 2-1 * 4) — (y+1)(0 * 2-0 * 4) + (z-1)(0 * 1-0 * (-1)) = -6x + 0y + 0z + 6 = 0
7) ) Угол между плоскостью и плоскостью
Косинус угла между плоскостью и плоскостью равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):
Часть 2
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными, Найти ее решение:
1) методом Крамера
2) средствами матричного исчисления
3) методом Гаусса
Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матрияное умножение,
Решение:
1) методом Крамера:
По данным системы составим определитель ?:

Вместо первого столбца поставим столбец свободных коэфицентов, получим ?1:
Вместо первого столбца поставим столбец свободных коэфицентов, получим ?2:
Вместо первого столбца поставим столбец свободных коэфицентов, получим ?3:

Найдем :
; ;
; ;
; ;
Ответ: (-1; 1;2),
2) Средствами матричного исчисления:
Найдем обратную матрицу по формуле:
? — определитель матрицы
— транспонированная матрица
Запишем матрицу, найдем главный определитель:
Вектор В =
Транспонируем матрицу:

Найдем элементы матрицы: для нахождения каждого элемента, мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент, оставшиеся четыре записываем в определитель, вычисляем,
Запишем обратную матрицу:
Проверим правильность обратной матрицы, используя матричное умножение:
Найдем :
; ;
; ;
; ;

Проверка:
-1*(-1)+0*1+2*2=5
2*(-1)+2*1+5*2=10
3*(-1)+(-2)*1+2*2=-1
Ответ:(-1, 1, 2),
3) Методом Гаусса:
Выписываем матрицу данной системы, состоящую из коэфицентов уравнения и свободных коэфицентов:
Если в каком-то уравнении на певром месте стоит 1, то ставим это уравнение на первую строку,
С помощью этой еденицы обнуляем все первые коэфиценты в каждом уравнении,
Приводим матрицу к ступенчатому виду:

Умножаем первую строку на 2, добавим вторую строку к первой,
Умножаем вторую строку на 3,

Умножаем третью строку на (-2), добавим третью строку ко второй,

Умножим первую строку на 5,

Умножим вторую строку на (-1), ко второй строке прибавим первую,
Из последнего уравнения получившейся матрицы находим , подставляем его в последнее уравнение , поднимаясь выше, находим все неизвестные,
a)
уравнение пирамида неизвестный система

б)
в)
Ответ: (-1; 1; 2)
Часть 3
Привести уравнение кривой второго порядка ?(x,y)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее спрямой Ax+By+C=0,
Построить графики кривой и прямой,
Решение:
1)
Приводим к каноническому виду:

Решение для переменной у:
Канонический вид — парабола,
Глобальный минимум:
min 1 в у=1
Неявные производных:
2)
Приводим к каноническому виду:

Каноническое решение:
Прямая и парабола не пересекаются,
Построение графиков,
Приложение — рис,1,

Приложение
Рис,1″