Учебная работа № /7548. «Контрольная Теория вероятностей и математическая статистика. Вариант 9
Учебная работа № /7548. «Контрольная Теория вероятностей и математическая статистика. Вариант 9
Содержание:
Задача 1
Пловца в команду принимают следующим образом. Сначала он должен проплыть 100 м за определенное время. Если справится, то 400 м за определенное время. Если и с этим справится, тогда километровую дистанцию за определенное время. Два спортсмена претендуют на место в команде, причем первый вовремя преодолевает соответствующие дистанции с вероятностями 0,7, 0,9 и 0,8, а второй – с вероятностями 0,9, 0,8 и 0,6 соответственно. Какова вероятность того, что в команду:
а) будет принят первый из них;
б) будет принят хотя бы один из них;
в) будут приняты оба;
г) будет принят только один из них?
Задача 2
В команде три стрелка, которые попадают в цель с вероятностью 0,9, пять стрелков, попадающих с вероятностью 0,8, и тринадцать, попадающих с вероятностью 0,7. Для зачетного выстрела стрелок определяется жребием. Какова вероятность того, что он попадет в цель?
Задача 3
Известно, что на собеседовании при приеме на работу в среднем каждый пятый претендент завышает свою предыдущую зарплату. Составить закон распределения случайной величины – числа претендентов на собеседовании, честно сообщивших о своей предыдущей зарплате, среди 4 претендентов. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения.
Задача 4
Случайные величины и независимы и имеют геометрические распределения с параметрами p = 0,5 для величины и p = 0,4 для величины . Найти математическое ожидание и дисперсию величины 2 3.
Задача 5
Дан закон распределения двумерной случайной величины ,:
= –2 = 0 = 1 = 2
= 1 0,04 0,1 0,02 0,04
= 2 0,04 0,1 0,02 0,04
= 4 0,12 0,3 0,06 0,12
1) Выписать одномерные законы распределения случайных величин ξ и η, вычислить математические ожидания М, М и дисперсии D, D.
2) Найти ковариацию Cov(,) и коэффициент корреляции (,).
3) Являются ли случайные величины ξ и η зависимыми?
4) Составить условный закон распределения случайной величины | 2 и найти М и D.
Выдержка из похожей работы
Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3,
а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9•0,8•0,7 = 0,504,
б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9•0,2•0,3 + 0,1•0,8•0,3 + 0,1•0,2•0,7 = 0,092,
в) Событие — все три стрелка промахиваются, Тогда
Р(С) = 1 — Р() = 1 — 0,1•0,2•0,3 = 1 — 0,006 = 0,994,
№ 11
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02, Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
У нас n достаточно велику, р малу, л = np = 150 • 0,02 = 3 < 9, k = 5, Справедливо равенство Пуассона: , Таким образом,
№ 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х),
хі
1
2
3
4
5
рі
0,05
0,18
0,23
0,41
0,13
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ? хірі = 0,05 + 2•0,18 + 3•0,23 + 4•0,41 + 5•0,13 = 3,39,
i=1
5
D(X) = ? xiІpi - MІ = 0,05 + 2І•0,18 + 3І•0,23 + 4І•0,41 + 5І•0,13 - 3,39І = i=1
1,1579,
у(Х) = vD(X) = v1,1579 = 1,076,
№ 31
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x),
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F= - 0 = ,
Графики функций поданы далее,
№ 41
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у, Данные: б = 2; в = 13; а = 10; у = 4,
Используем формулу Р(б < x < в) =
Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф- Ф(-2),
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
Ф- Ф(-2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506,
№ 51
По данному статистическому распределению выборки
хі
4
5,8
7,6
9,4
11,2
13
14,8
16,6
mі
5
8
12
25
30
20
18
6
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение,
Для решения задачи введём условную переменную
, где С - одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h - это шаг (у нас h = 1,8),
Пусть С = 11,2, Тогда ,
Заполним таблицу:
xi
mi
xiґ
ximi
(xiґ)Іmi
4
5
- 4
- 20
80
5,8
8
- 3
- 24
72
7,6
12
- 2
- 24
48
9,4
25
- 1
- 25
25
11,2
30
0
0
0
13
20
1
20
20
14,8
18
2
36
72
16,6
6
3
18
54
? = 124
? = - 19
? = 371
Используя таблицу, найдём ;
D(xґ) = ?(xiґ)Іmi - (xiґ)І = - (- 0,1532)І = 2,9685,
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
_
x = xґh + C = - 0,1532•1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,9685•1,8І = 9,6178;
у(x) = vD(x) = v9,6178 = 3,1013,
№ 61
По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии,
у х
6
9
12
15
18
21
ny
5
4
2
6
15
5
23
28
25
18
44
5
67
35
1
8
4
13
45
4
2
6
nx
4
7
42
52
13
2
n = 120
Для упрощения расчетов введем условные переменные
u = , v = , Составим таблицу:
v u
- 3
- 2
- 1
0
1
2
nv
nuvuv
- 2
4 6
2 4
6
32
- 1
5 2
23 1
28
33
0
18 0
44 0
5 0
67
0
1
1 -1
8 0
4 1
13
3
2
4 2
2 4
6
16
nu
4
7
42
52
13
2
n = 120
? = 84
Последовательно получаем:
;
;
;
;
уuІ = - (u)І = 1,058 - (- 0,425)І = 0,878; уu = v0,878 = 0,937;
уvІ = - (v)І = 0,742 - (- 0,125)І = 0,726; уv = v0,726 = 0,8521;
По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 84,
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u•h1 + C1 = - 0,425•3 + 15 = 13,725; y = v•h2 + C2 = - 0,125•10 + 25 = 23,75;
уx = уu•h1 = 0,937•3 = 2,811; уy = уv•h2 = 0,8521•10 = 8,521,
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х,
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению:
ух=12 = 2,457•12 - 9,968 = 19,516; е1 = 19,762 - 19,516 = 0,246;
2) при х = 18 по таблице имеем
по уравнению:
ух=18 = 2,457•18 - 9,968 = 34,258; е2 = 34,258 - 34,231 = 0,027"
