Учебная работа № /7450. «Контрольная Теория функций комплексного переменного, задачи (M=2, n=5)

Выдержка из похожей работы

Р,
Краснодар 2009
Содержание

Введение
Некоторые вспомогательные теоремы
Индекс
Задача Римана для односвязной области
Исключительные случаи задачи Римана
Задача Римана для многосвязной области
Краевая задача Римана со сдвигом
Примеры
Список использованных источников
Введение

Краевая задача , называемая здесь задачей Римана, впервые встречается в работе Римана о дифференциальных уравнениях с алгебраическими коэффициентами, Задача (однородная) формулируется им для случая п пар искомых функций в связи с задачей отыскания дифференциальною уравнения, интегралы которого при обходе около особых точек претерпевают заданную линейную подстановку,
Риман не сделал никаких попыток решить поставленную им задачу, Первое решение однородной краевой задачи дал Гильберт, Пользуясь условиями того, что произвольная комплексная функция является краевым значением аналитической функции, Гильберт составил интегральное уравнение Фредгольма, которому удовлетворяет решение задачи Анализируя это уравнение, он доказал альтернативу; одна из двух задач с коэффициентом G(t) или разрешима, В дальнейшем авторы, рассматривавшие общий случай краевой задачи, шли по тому же пути сведения задачи к интегральному уравнению, используя в качестве аппарата интегралы типа Коши, Вместо альтернативы Гильберта здесь получалась альтернатива для коэффициентов G(t) и метод этот до сих пор применяется при решении задачи Римана со многими неизвестными функциями,
В 1941 г, Б, В, Хведслидзе обобщил это решение на многосвязную область, Задача Римана со сдвигом встречается впервые у Газемана, Он сводит се способом, аналогичным тому, который применил Гильберт для решения задачи Римана, к интег��альному уравнению Фредгольма и получает ту же альтернативу, что и Гильберт для задачи Римана, Полное решение задачи Римана со сдвигом, некоторых ее видоизменений дано Д, А, Квеселавз,И в наши дни разрабатываются и интегрируются теории о краевой задаче Римана,
Некоторые вспомогательные теоремы

Приведем здесь четыре наиболее часто используемые теоремы теории аналитических функций,
1, Теорема об аналитическом продолжении в соприкасающихся областях (принцип непрерывности):
Пусть две области D1 и D2 граничат вдоль некоторой кривой L; в областях D1 и D2 заданы аналитические функции f1(z) и f2(z), Предположим, что при стремлении точки z к кривой L обе функции стремятся к предельным значениям, непрерывным на кривой L, причем эти предельные значения равны между собой, При этих условиях функции f1(z), f2(z) будут аналитическим продолжением друг друга,
2, Пусть DZ — некоторая область плоскости z, Lz — прямая или окружность, имеющие с контуром области Dz некоторую общую часть, Множество точек, симметричных относительно Lz веем точкам Dz, образуют область, которую обозначим D*z и назовем областью, симметричной Dz относительно Lz, Пусть, далее, w = f(z) — функция, аналитическая в Dw, отображающая ее на некоторую область Dw; Lw — произвольная прямая или окружность в плоскости w и D*w — область, симметричная Dw относительно Lw, Определим в D*г функцию w=f*{z), ставя в соответствие точкам z*, симметричным z, значения w*, симметричные значениям w=f(z); в частности, если Lz и Lw — действительные оси, то f*{z)=,
Лемма: Функция w = f*{z) аналитична в области D*z,
Теорема (принцип симметрии):
Пусть функция w=f{z) аналитична в области DZ, имеющей частью своей границы отрезок прямой или дугу окружности, и отображает область Dz в некоторую область Dw так, что указанные отрезок или дуга снова переходят в отрезок прямой ила дугу окружности, Тогда функция f*(z), определенная по симметрии в области D*z, будет аналитическим продолжением функции f(z) в область D*z,
3″