Учебная работа № /7252. «Контрольная Числовые множества и функции. Числовые последовательности и их пределы, задания
Учебная работа № /7252. «Контрольная Числовые множества и функции. Числовые последовательности и их пределы, задания
Содержание:
«Числовые множества и функции. Числовые последовательности и их пределы»
1. Привести пример двух множеств, пересечение которых пусто, а объединение – все множество действительных чисел.
2. Пояснить, чем отличаются друг от друга табличный, аналитический и графический способы задания функции
3. Доказать формулу для произведения двух комплексных чисел в тригонометрической записи, а также формулу деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
4. Привести пример числовой последовательности, которая является ограниченной, но не имеющей предела. Затем привести пример двух расходящихся последовательностей, произведение которых – сходящаяся последовательность.
Справедливо ли утверждение о том, что сумма двух расходящихся числовых последовательностей всегда является расходящейся последовательностью? В случае отрицательного ответа следует указать соответствующий пример
«Предел и непрерывность числовых функций. Производная и дифференциал функции»
1. Обосновать эквивалентность определений предела функции на языке “e–d” и языке последовательностей (определения по Коши и по Гейне).
( Гейне ) ( Коши )
2. Привести примеры тригонометрических ( ), обратных тригонометрических ( ), показательных ( ) и логарифмических функций ( , являющихся бесконечно малыми при x®0.
3. В чем различие между точками непрерывности функции и точками разрывов? Ответ пояснить примерами.
4. Пояснить, почему функции
f(x) = |x|, f(x) = {sin(1/x), x¹0; 0, x=0}, f(x) = {x×sin(1/x), x¹0; 0, x=0}
не имеют в точке x0 = 0 производную.
Проиллюстрировать на графике геометрический смысл производной и дифференциала функции одной переменной
5. Проинтерпретировать теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа с помощью графических построений на координатной плоскости.
6. Провести полное исследование и построить графики следующих функций:
y = x1 + x2 , y = x•arctg(x), y = x3 − 6×2 + 2
«Пределы функций многих переменных. Частные производные и дифференциалы первого порядка. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная по направлению и градиент»
1. Привести (с обоснованием) пример функции двух переменных, которая не имеет предела в данной точке.
2. Пусть функция многих переменных имеет все частные производные первого порядка в данной точке. Следует ли из этого факта дифференцируемость указанной функции? Ответ пояснить на примере.
3. Выписать общую формулу для вычисления всех частных производных первого порядка функции z(x1, x2,…, xn). Убедиться, что результат этих вычислений можно представить в матричном виде.
4. Пусть функция трех переменных имеет вид f(x, y, z) = x3 y2 sin(z). Убедиться, что . Будет ли частная производная четвертого порядка равна двум указанным частым производным того же порядка? Результат пояснить.
5. Используя определение производной по направлению пояснить, почему градиент функции определяет направление наибольшего роста функции в рассматриваемой точке.
6. Применяя символическую биноминальную формулу для дифференциала произвольного порядка функции многих переменных, выписать формулу для дифференциала четвертого порядка d4f(x, y) функции двух переменных f(x, y).
Выдержка из похожей работы
1,2 Основные понятия и определения числовой последовательности
1,3 Определение предела числовой последовательности
1,4 Свойства предела последовательности
1,5 Теорема Штольца
Глава II, Практическое приложение предела последовательности, свойств предела, теоремы Штольца
2,1 Примеры вычисления предела последовательности
2,2 Применение последовательности в экономике
2,3 Применение предела последовательности в физике и геометрии
2,4 Практическое применение теоремы Штольца
Заключение
Литература
Введение
Понятие предела занимает одно из центральных мест в математике и является фундаментальным понятием математического анализа, Современная теория предела является результатом обобщения и совершенствования очень древних и интуитивных представлений об этом понятии,
Происхождение понятия предела, корни которого уходят в глубокую древность, связано с определением площадей криволинейных фигур и объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями, Идея предела выдвигалась Евклидом (365 г, до н, э,), Аристотелем (287- 212г,г, до н, э,) и другими математиками древности, Позднее попытка ввести понятие предела была сделана И,Ньютоном, Он ввел специальный термин limes (предел),
В конце XVIII в, применение предела широко пропагандировал русский математик С,Е,Гурьев, Понятие производной, дифференциала и интеграла, как и весь математический анализ, ныне основываются на разработанном в XIX в, методе пределов или методе бесконечно малых, именно тогда понятие предела получило научное определение, которое можно описать с помощью математических неравенств, Это предало теории пределов необходимую строгость, позволило широко использовать ее в практических приложениях и сделало фундаментом построения современной математики, Особая заслуга в этом принадлежит французскому математику О»
