Учебная работа № /7227. «Контрольная Указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, вариант 25, 5 заданий

Выдержка из похожей работы

11
Задача 1
Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными,
Решение, Перепишем данное уравнение в виде
Разделяем переменные:
Теперь интегрируем обе части полученного равенства:
Это и есть искомое общее решение уравнения,
Задача 2
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее указанному начальному условию,

Решение, Перепишем исходное уравнение в виде
а искомую функцию представим в виде произведения двух других: , Тогда

Или
В этом случае исходное уравнение сводится к виду
Интегрируя, получаем
А решение исходного уравнения примет вид:
, (*)
Выберем константу в (*) так, чтобы выполнялось дополнительное условие ,
Следовательно, ,
Таким образом, искомое частное решение имеет вид:
Задача 3

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда,
Решение, В разложении функции в степенной ряд
заменим x на , Тогда получим
Умножая этот ряд почленно на , будем иметь
Следовательно,
Полученный числовой знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, Восьмой член этого ряда по абсолютной величине меньше , поэтому для обеспечения требуемой точности нужно просуммировать первые семь членов ряда и результат округлить до 0,001, Итак,
Задача 4

Студент знает ответы на 15 из 20 вопросов программы, Какова вероятность того, что он знает ответы на все три вопроса, предложенные экзаменатором,
Решение, Рассмотрим события:
{студент знает ответ на первый вопрос};
{студент знает ответ на второй вопрос};
{студент знает ответ на третий вопрос},
Тогда
Вероятность того, что второй вопрос окажется для студента известным, при условии, что он смог правильно ответить на первый вопрос, т, е, условная вероятность события , равна
Вероятность того, что третьим будет отобран знакомый вопрос, при условии, что уже отобраны два знакомых вопроса, т, е, условная вероятность события , равна
Искомая вероятность того, что все три вопроса окажутся ответными, равна
Задача 5
В группе из 18 студентов имеется 5 отличников, Выбираются наудачу три студента, Какова вероятность того, что все они отличники?
Решение, Рассмотрим события:
{первый студент является отличником};
{второй студент является отличником};
{третий студент является отличником},
Тогда
Вероятность того, что второй студент окажется отличником, при условии, что первый студент оказался отличником, т, е, условная вероятность события , равна
Вероятность того, что третьим будет отобран отличник, при условии, что уже отобраны два отличника, т, е»