Учебная работа № /7136. «Контрольная Теория вероятности и математическая статистика. Вариант 2
Учебная работа № /7136. «Контрольная Теория вероятности и математическая статистика. Вариант 2
Содержание:
Вариант 2
Теория вероятностей
Задание к разделу 1.1
Сколько шестизначных телефонных номеров можно составить из цифр от 1 до 9, если цифры не повторяются? Цифры повторяются?
Задание 1 к разделу 1.2
Студент знает k = 25 вопросов из n = 30 вопросов программы. Экзаменатор задает три вопроса из имеющихся. Найти вероятность того, что студент знает ответы а) на все три вопроса, б) только на два вопроса.
Задание 2 к разделу 1.2
Две фирмы взяли кредиты в банке. Вероятность того, что первая фирма вернет кредит в срок р1 = 0,7, а вторая р2 = 0,4. Какова вероятность того, что только одна фирма вернет кредит в срок? Обе фирма вернут кредит в срок? Обе фирмы не вернут кредит в срок?
Задание к разделу 1.3
Исследования показали, что из каждых десяти призывников трое имеют искривление позвоночника. Комиссия обследует 6 юношей. Какова вероятность того, что 2 из них имеют искривления позвоночника?
Задание к разделу 1.4
Случайная величина распределена по закону: Найти: р, М(Х), D(Х).
x 3 7 9
p p 0,1 0,7
Задания
Задание 1. Постройте статистический ряд.
Задание 2. Вычислите относительные частоты и накопленные относительные частоты.
Задание 3. Представьте графически статистический ряд в виде полигона или гистограммы.
Задание 4. Постройте график накопленных относительных частот.
Задание 5. Запишите эмпирическую функцию распределения.
Задание 6. Вычислите точечные оценки параметров закона распределения:
1) выборочное среднее;
2) выборочную дисперсию (смещенную и несмещенную);
3) выборочное среднее квадратическое отклонение (смещенное и несмещенное);
4) выборочную моду;
5) выборочную медиану.
Задание 7. Положим, изучаемая генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения. Найдите доверительный интервал для неизвестного математического ожидания при условии, что дисперсия неизвестна и доверительная вероятность задается формулой γ=0,9+0,01∙i, где i – последняя цифра шифра зачетной книжки.
Исходные данные
Для изучения распределения заработной платы работников некоторой отрасли за определенный промежуток времени обследовано 100 человек. Результаты представлены ниже.
Таблица 1
Исходные данные
2,0 3,2 5,2 4,8 3,8 2,8 4,9 3,2 3,9 1,8
3,7 3,2 4,5 2,5 2,3 3,4 1,1 5,7 3,3 2,7
2,5 1,4 2,1 3,9 2,2 1,2 4,2 5,4 2,3 4,1
3,8 3,2 6,1 2,1 3,8 2,5 1,7 2,9 5,9 7,1
3,9 4,2 5,8 1,8 4,2 6,1 5,1 3,3 4,2 3,6
3,0 2,3 1,5 3,3 3,7 2,4 1,6 2,7 4,2 5,9
4,7 5,4 3,2 2,7 1,8 2,5 3,7 4,8 5,8 6,6
2,8 5,4 3,2 1,6 4,7 3,3 4,9 5,3 5,1 3,2
1,2 2,4 6,2 7,4 7,7 6,9 7,1 8,2 6,3 5,3
2,2 5,7 4,3 5,1 4,9 2,3 1,4 7,7 6,1 5,1
Выдержка из похожей работы
Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3,
а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9•0,8•0,7 = 0,504,
б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9•0,2•0,3 + 0,1•0,8•0,3 + 0,1•0,2•0,7 = 0,092,
в) Событие — все три стрелка промахиваются, Тогда
Р(С) = 1 — Р() = 1 — 0,1•0,2•0,3 = 1 — 0,006 = 0,994,
№ 11
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02, Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
У нас n достаточно велику, р малу, л = np = 150 • 0,02 = 3 < 9, k = 5, Справедливо равенство Пуассона: , Таким образом,
№ 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х),
хі
1
2
3
4
5
рі
0,05
0,18
0,23
0,41
0,13
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ? хірі = 0,05 + 2•0,18 + 3•0,23 + 4•0,41 + 5•0,13 = 3,39,
i=1
5
D(X) = ? xiІpi - MІ = 0,05 + 2І•0,18 + 3І•0,23 + 4І•0,41 + 5І•0,13 - 3,39І = i=1
1,1579,
у(Х) = vD(X) = v1,1579 = 1,076,
№ 31
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x),
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F= - 0 = ,
Графики функций поданы далее,
№ 41
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у, Данные: б = 2; в = 13; а = 10; у = 4,
Используем формулу Р(б < x < в) =
Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф- Ф(-2),
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
Ф- Ф(-2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506,
№ 51
По данному статистическому распределению выборки
хі
4
5,8
7,6
9,4
11,2
13
14,8
16,6
mі
5
8
12
25
30
20
18
6
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение,
Для решения задачи введём условную переменную
, где С - одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h - это шаг (у нас h = 1,8),
Пусть С = 11,2, Тогда ,
Заполним таблицу:
xi
mi
xiґ
ximi
(xiґ)Іmi
4
5
- 4
- 20
80
5,8
8
- 3
- 24
72
7,6
12
- 2
- 24
48
9,4
25
- 1
- 25
25
11,2
30
0
0
0
13
20
1
20
20
14,8
18
2
36
72
16,6
6
3
18
54
? = 124
? = - 19
? = 371
Используя таблицу, найдём ;
D(xґ) = ?(xiґ)Іmi - (xiґ)І = - (- 0,1532)І = 2,9685,
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
_
x = xґh + C = - 0,1532•1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,9685•1,8І = 9,6178;
у(x) = vD(x) = v9,6178 = 3,1013,
№ 61
По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии,
у х
6
9
12
15
18
21
ny
5
4
2
6
15
5
23
28
25
18
44
5
67
35
1
8
4
13
45
4
2
6
nx
4
7
42
52
13
2
n = 120
Для упрощения расчетов введем условные переменные
u = , v = , Составим таблицу:
v u
- 3
- 2
- 1
0
1
2
nv
nuvuv
- 2
4 6
2 4
6
32
- 1
5 2
23 1
28
33
0
18 0
44 0
5 0
67
0
1
1 -1
8 0
4 1
13
3
2
4 2
2 4
6
16
nu
4
7
42
52
13
2
n = 120
? = 84
Последовательно получаем:
;
;
;
;
уuІ = - (u)І = 1,058 - (- 0,425)І = 0,878; уu = v0,878 = 0,937;
уvІ = - (v)І = 0,742 - (- 0,125)І = 0,726; уv = v0,726 = 0,8521;
По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 84,
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u•h1 + C1 = - 0,425•3 + 15 = 13,725; y = v•h2 + C2 = - 0,125•10 + 25 = 23,75;
уx = уu•h1 = 0,937•3 = 2,811; уy = уv•h2 = 0,8521•10 = 8,521,
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х,
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению:
ух=12 = 2,457•12 - 9,968 = 19,516; е1 = 19,762 - 19,516 = 0,246;
2) при х = 18 по таблице имеем
по уравнению:
ух=18 = 2,457•18 - 9,968 = 34,258; е2 = 34,258 - 34,231 = 0,027"
