Учебная работа № 6954. «Контрольная Алгебра, вариант 2
Учебная работа № 6954. «Контрольная Алгебра, вариант 2
Содержание:
1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Дана система линейных уравнении
Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера; 3)матричным методом
12. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (4;7;8), b = (9;1;3), c = (2;-4;1), d = (1;-13;-13).
22. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти:
1) длину ребра
2) косинус угла между ребрами A1А2 и A1А4
3) угол между прямой A1А4 и гранью A1А2A3
4) площадь грани A1А2A3
5) объем пирамиды,
6) уравнение прямой
7) уравнение плоскости A1А2A3
8) уравнение высоты опущенной на плоскость A1А2A3 ,
если
32. Решить задачи.
Даны уравнения одной из сторон ромба x -3y +10 = 0 и одной из его диагоналей x + 4y — 4 = 0. Составить уравнения трёх остальных сторон ромба, если известно, что в точке А(0, 1) пересекаются его диагонали. Выполнить чертёж.
42. Решить задачи.
Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки A(3, 0) вдвое больше расстояния , чем от оси ординат.
52. Линия задана в полярной системе координат . Требуется: 1) построить линию по точкам, придавая значения через промежуток от до ; 2) найти уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе
координат; 3) определить, какая это линия.
62. Дано комплексное число Требуется: 1) записать число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме; 2) найти все корни уравнения
2. Введение в математический анализ
72. Найти область определения функции
82. Найдите пределы:
92. Задана функция y = f(x) и два значения аргумента x1 и x2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
, x1 = 0, x2 = 2.
102. Задана функция . Найдите точки разрыва, если они существуют, исследовать характер разрыва. Сделать чертеж.
2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
112. Найти производные данных функций
а) б) в) г) д)
122. Найти для заданных функций:
а) ;
б) .
132. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя полученные результаты, построить её график.
142. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a;b]. ; [0; 2]
152. Прямоугольник вписан эллипс с осями 2а и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей
162. Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии r = r(t) в точке t0 .
4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
172. Дана функция . Проверить, является ли она решением уравнения .
182. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D: , заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
192. Даны функция , точка и вектор . Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора .
202. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке
212. Экспериментальным путем получены значения искомой функции при некоторых значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию в виде у = ах+b.
x 1 2 3 4 5
y 4,5 5,5 4 2 2,5
5.ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННЫХ
222. Найти неопределенные интегралы. В пп. «а» и «б» результаты проверить дифференцированием
a) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
232. Вычислить определенные интегралы:
а)
б)
242. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
а) ;
б). .
252. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды:
7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
312. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка
322. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
332.Найти частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:
342.Найти решение системы дифференциальных уравнений.
Форма заказа готовой работы
Выдержка из похожей работы
систему линейных уравнений удобно
записывать и решать в виде матрицы, т,е,
в виде прямоугольной таблицы коэффициентов
(вертикальной чертой отделены свободные
члены):
(1)
С помощью первого
уравнения (первой строки матрицы)
исключим x1
из всех последующих уравнений (аннулируем
все элементы первого столбца, кроме 1 в
первой строке), Для этого первую строку
прибавим к третьей (во второй уже стоит
0), а затем первую строку, умноженную на
-1, прибавим к четвертой, При этом единицу,
с помощью которой »очищается» столбец
матрицы, будем называть разрешающим
элементом, Разрешающий элемент будем
давать в квадратике на каждом шаге
решения задачи:
(2)
Система (2) равносильна
системе (1), так как (2) получена из (1) с
помощью нескольких элементарных
преобразований, В системе (2) с помощью
второго уравнения исключим второе
неизвестное из третьего и четвертого
уравнений (аннулируем вторые элементы
в третьей и четвертой строках), Для этого
вторую строку прибавим к третьей и
вторую строку, умноженную на три, прибавим
к четвертой (есть новый разрешающий элемент):
(3)
Аннулируем теперь
в матрице (3) третий элемент четвертой
строки, Этим соответствующая система
линейных уравнений приведется к
равносильной треугольной системе
(третье уравнение, умноженное на 7,
прибавляем к четвертому):
(4)
Заметим, что систему
(4) можно было оставить в матричной
записи, Из четвертого уравнения находим
и
подставляем в третье уравнение, Затем
получаемПодставив найденные значения,
во втором уравнении, запишем,
Аналогично из
первого уравнения
Ответ:
{(1,-1,-2,2)},
2 Способ,
Предыдущее решение можно ускорить в
двух направлениях, Во-первых, необязательно
брать сначала первое уравнение, затем
второе, третье, так как при этом могут
исчезать уже готовые нули и возникать
неудобства из-за неподходящих
коэффициентов, Во-вторых, исключать
неизвестные в столбце можно по направлению
не только »вниз», но и »вверх», оставляя
в столбце лишь один коэффициент, не
равный нулю (метод Жордана-Гаусса), В
матрице (1) в первом столбце аннулируем
все элементы с помощью третьей строки,
т,е, элемент, стоящий в первом столбце
и третьей строке, выбираем в качестве
разрешающего элемента:
(1’)
Это позволяет
сохранить стоящий в третьей строке
нуль:
(2’)
Использование
первой строки для элементарных
преобразований в матрице (2′) сохранит
нуль, стоящий в первой строке на четвертом
месте:
(3’)
Четвертую строку
в матрице (3′) умножаем на 2 и прибавляем
к ней умноженную на 3 вторую строку:
(4’)
Четвертую строку
в матрице (4′) сокращаем на –17 перед ее
использованием:
(5’)
Можно еще сократить
вторую строку на 2 и изменить знак в
третьей строке, а затем так переставить
уравнения (строки в матрице), чтобы
неисключенные неизвестные выстроились
по диагонали (хотя это необязательно):
(6’)
Система (6′) в обычной
записи имеет вид
,т,е
