Учебная работа № 6640. «Контрольная Математика вариант 3
Учебная работа № 6640. «Контрольная Математика вариант 3
Содержание:
«Вариант 5
Задачи для контрольной работы №1
Задание 1. Дана система линейных уравнений
Решить систему: а) методом Гаусса;
б) по правилу Крамера;
в) средствами матричного исчисления.
Задание 2. Даны координаты векторов . Найти:
1) длину вектора
2) скалярное произведение векторов и
3) косинус угла между векторами и
4) векторное произведение векторов и
5) площадь параллелограмма и площадь треугольника , построенных на векторах и
6) смешанное произведение векторов и
7) объем параллелепипеда и объем пирамиды , построенных на векторах и
Задание 3. Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки А, В и С. Найти нормальный вектор и уравнение плоскости в «отрезках» Построить данную плоскость.
А(3, -2, 4) В(5, 1, -6) С(3, 5, -7)
Задание 4. Привести кривую второго порядка к каноническому виду и построить ее.
Задание 5. Даны вершины треугольника АВС. Найти точку пересечения медианы АМ и высоты СН. Сделать чертеж.
А(1, -2) В(7, 1) С(3, 7)
Задачи для контрольной работы №2
Задание 1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
а) б) в) г)
д)
Задание 2. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.
Задание 3. Найти производные данных функций:
а) б) в) г)
д)
Задание 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функции ; используя результаты исследования, построить ее график:
Задание 5. Найти неопределенные интегралы.
а) б) в) г)
Задание 6. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость
а) б)
Задание 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
Форма заказа готовой работы
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
