Учебная работа № 6394. «Контрольная Математика (задачи+вопросы)
Учебная работа № 6394. «Контрольная Математика (задачи+вопросы)
Содержание:
Раздел 1. Линейная алгебра
1.1. Решить методом исключения систему линейных уравнений, заданную в матричной форме: =
1.2. Решить методом исключения систему линейных уравнений, заданную в матричной форме: =
1.3. Решить методом исключения систему линейных уравнений,
,
выбирая в качестве базисных неизвестных х2 и х3. В ответе указать общее и базисное решение.
1.4. Решить методом исключения систему однородных линейных уравнений,
,
выбирая в качестве базисных неизвестных х1 и х2. В ответе указать общее решение, размерность ее пространства решений и фундаментальный набор решений.
1.5. Решить методом исключения систему однородных линейных уравнений,
,
выбирая в качестве базисных неизвестных х1 и х2. В ответе указать общее решение, размерность ее пространства решений и фундаментальный набор решений.
1.7. Найти координаты вектора = (-3; -2; -1) в ортогональном базисе: = (-1; -1; 1),
= (1; 3; 4), = (-7; 5; -2).
1.8. Найти скалярное произведение векторов и , если даны их длины = 10, = 9 и угол между ними = .
1.9. Вычислить , где = (3; 1; 0; 2), = (3; 1; 2; 0), = (-3; 1; 1; 1)
1.10. Вычислить , где = (-1; -2; -2; 2), = (2; 2; -2; 1).
1.11. Даны два вектора = (-1; 1; 1; -1) и = (1; -1; 1; 1). Найти их длины и косинус угла между ними.
1.12. Найти вектор , который удовлетворяет условиям = -1, = 7, где = (-1; -1) и = ( -1; 3).
1.13. Вычислить матрицу , где , .
1.14. Найти матрицу Х, если 3А + 4В – Х = 0, где ,
1.15. Вычислить произведение матриц АВ, где , .
1.16. Вычислить АВ – ВА, где ,
1.17. Вычислить , где
1.18. Вычислить определитель матрицы .
1.19. Вычислить определитель матрицы . =
1.20. Вычислить определители а) ; б) .
1.21. Вычислить определитель
1.22. Вычислить обратную матрицу для следующей матрицы . Сделать проверку.
1.23. Найти обратную матрицу для следующей матрицы
Раздел 2. Математический анализ
2.1. Найти предел последовательности
2.2. Найти предел последовательности
2.3. Найти предел функции
2.4. Найти предел функции
2.5. Найти производную функции
2.6. Найти производную функции ;
2.7. Найти производную функции и вычислите ее значение в точке х0 = 0
2.8. Найти производную функции
2.9. Найти производную функции
2.10. Найти производную функции и вычислите ее значение в точке х0 = -1
2.11. Найти производную функции и вычислите ее значение в точке х0 = 1
2.12. Исследовать функцию и построить ее график.
2.13. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика. Сколько корней имеет уравнение ?
2.13. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика. Сколько корней имеет уравнение ?
2.15. Найти локальные максимумы и минимумы функции .
2.16. Найти наклонные асимптоты функции
2.17. Найти неопределенный интеграл
2.18. Найти неопределенный интеграл
2.19. Найти неопределенный интеграл
2.20. Найти неопределенный интеграл
2.21. Найти неопределенный интеграл
2.22. Найти неопределенный интеграл
2.23. Найти определенный интеграл
2.24. Найти определенный интеграл
2.25. Найти определенный интеграл
Раздел 3. Теория вероятностей
3.1. В ящике 3 белых и 5 черных шаров. Найти вероятность того, из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. Вынутый шар в урну не возвращается.
3.2. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов равны, соответственно, р1 = 0,3; р2 = 0,5 и р3 = 0,99. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
3.3. В группе учатся 11 юношей и 14 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Найти вероятность того, что среди дежурных будет хотя бы одна девушка.
3.4. События А, В и С независимы. Найти вероятность того, что из событий А, В и С наступит ровно одно событие, если Р(А) = 0,4; Р(В) = 0,3; Р(С) = 0,8.
3.5. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй – 6 белых и 8 черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую один шар, после чего из первой вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый?
3.6. С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает 18% деталей, со 2-го и 3-го по 25% и 57% деталей, соответственно. Вероятности выдачи бракованной детали для каждого из станков-автоматов равны 0,25%, 0,35% и 0,15%, соответственно. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь оказалась бракованной, а также вероятность того, что поступившая на сборку деталь изготовлена на 2-ом станке-автомате.
3.7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность Р того, что при 5 выстрелах в цель попали менее 2 раз.
3.8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти наивероятнейшее число попаданий при 12 выстрелах.
3.9. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,4. Найти вероятность того, что среди 104 выпущенных изделий ровно 62 изделия без брака.
3.10. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,35. Найти вероятность того, что среди 108 выпущенных изделий будет хотя бы одно, но не более 37 изделий без брака.
Вероятность выпуска стандартного изделия р = 1 – q = 1 – 0,35 = 0,65.
3.11. Завод отправил на базу 2000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,003. Какова вероятность Р того, что на базу поступит 2 некачественных изделия?
3.12. Распределение дискретной случайной величины Х задано таблице
Х 3 4 5
Р 0,3 0,2 0,5
Найти математическое ожидание и вероятность .
3.13. Распределение дискретной случайной величины Х задано таблице
Х 1 2 3
Р 0,1 0,3 0,6
Найти математическое ожидание и дисперсию .
3.14. Для пуассоновской случайной величины Х отношение = 8. Найти математическое ожидание
3.15. Случайная составляющая выручки равна 2Х, Х – биномиальная случайная величина с параметрами n = 200 и р = . Случайная составляющая затрат равна 30Y (некорректное условие, берем 3Y), где Y – пуассоновская случайная величина. Найти дисперсию прибыли, считая, что Х и Y независимы, а = 4.
3.16. Для нормальной случайной величины Х с математическим ожиданием = 28 и дисперсией = 49 найти .
3.17. Для нормальной случайной величины Х с математическим ожиданием = 18 и дисперсией = 9 найти .
3.18. Для случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [3; 9], найти математическое ожидание и дисперсию .
3.19. Для случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [2; 10], указать значение функции плотности распределения на отрезке [2; 10], построить график плотности распределения и найти вероятность .
Раздел 1. Линейная алгебра.
1.1. Система линейных уравнений (СЛУ). Решение системы линейных уравнений. Общее решение СЛУ. Свободные и базисные неизвестные. Базисное решение, соответствующее общему решению СЛУ.
1.2. Арифметические -мерные векторы и линейные операции над ними (сложение и умножение вектора на число). Арифметическое -мерное пространство.
1.3. Подпространство арифметического -мерного пространства. Однородная система линейных уравнений. Теорема о множестве всех решений однородной СЛУ.
1.4. Линейные комбинации системы векторов. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
1.5. Базис арифметического -мерного пространства. Теорема об однозначности разложения вектора по базису.
1.6. Теорема о числе векторов в базисе. Размерность векторного пространства.
1.7. Определение ранга системы векторов. Метод вычисления ранга системы векторов.
1.8. Скалярное произведение векторов и его свойство.
1.9. Определение длины вектора и угла между векторами в арифметическом -мерном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского.
1.10. Матрица и различные виды матриц (матрица-строка, матрица-столбец, квадратная, диагональная, треугольного вида.)
1.11. Операции над матрицами (сложение, умножение матрицы на число, транспонирование, умножение матриц). Единичная матрица.
1.12. Определение ранга матрицы. Определение невырожденной и вырожденной матрицы.
1.13. Определитель квадратной матрицы и его свойства.
1.14. Определение обратной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы.
1.15. Правило Крамера. Пример его применения для системы двух уравнений с двумя неизвестными.
1.16. Теорема о размерности подпространства решений однородной СЛУ. Понятие фундаментального набора однородной СЛУ. Метод нахождения фундаментального набора решений.
Раздел 2. Математический анализ.
2.1. Определение функции (отображения). Область определения функции. Область значений функции. График функции.
2.2. Сложная функция. Примеры сложных функций.
2.3. Числовая последовательность. Определение предела числовой последовательности. Понятие сходящейся последовательности.
2.4. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Теорема об арифметических свойствах пределов.
2.5. Определение окрестности точки, проколотой окрестности точки, и предела функции в точке. Свойства пределов функции с неравенствами.
2.6. Определение числа . Формула непрерывных процентов.
2.7. Определение непрерывности функции в точке. Теорема о непрерывности элементарных функций.
2.8. Определение производной функции в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
2.9. Теорема о производной суммы, произведения и частного двух функций.
2.10. Теорема о производной сложной функции. Таблица производных для основных элементарных функций с учетом сложной функции.
2.11. Определение эластичности функции спроса в точке. Определение эластичного спроса.
2.12. Определение возрастающей и убывающей функции на промежутке. Теорема о неубывающей и возрастающей функции.
2.13. Определение локального максимума и локального минимума функции. Достаточное условие локального максимума (минимума).
2.14. Понятие наклонной асимптоты графика функции. Теорема о вычислении коэффициентов и наклонной асимптоты. Сколько наклонных асимптот может иметь график функции.
2.15. Определение первообразной для функции на промежутке. Теорема об общем виде первообразной на промежутке.
2.16. Понятие неопределенного интеграла для функции. Четыре свойства неопределенного интеграла.
2.17. Теорема о существовании неопределенного интеграла для непрерывной функции. Таблица основных интегралов.
2.18. Теорема о замене в неопределенном интеграле. Теорема о формуле интегрирования по частям.
2.19. Определение рациональной функции (дроби). Теорема о разложении функции в сумму многочлена п простейших дробей. Четыре вида простейших дробей.
2.20. Понятие криволинейной трапеции. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Нижние и верхние суммы Дарбу.
2.21. Понятие ограниченной интегрируемой функции на отрезке. Определение определенного интеграла на отрезке. Геометрический смысл определенного интеграла.
2.22. Теорема о существовании определенного интеграла для непрерывной функции. Теорема о вычислении определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Раздел 3. Теория вероятностей.
3.1. Понятие случайного события. Операции над событиями (сумма событий, произведение событий, противоположное событие)
3.2. Несовместимые события. Вероятность как мера измерения случайности события. Правило сложения вероятностей для несовместимых событий. Вероятность противоположного события.
3.3. Пространство элементарных исходов и формула классического определения вероятностей.
3.4. Правило произведения. Понятие перестановки конечного множества. Число различных перестановок множества из элементов. Вычисление числа сочетаний .
3.5. Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Независимые события. Вероятность произведения независимых событий.
3.6. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
3.7. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли. Теорема о вычислении вероятности наступления события в точности раз в независимых испытаниях по формуле Бернулли.
3.8. Теорема о наивероятнейшем числе успехов в независимых испытаниях.
3.9. Приближенные формулы для вычисления . Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Условия их применимости.
3.10. Приближенная формула Пуассона для вычисления . Условия ее применимости.
3.11. Дискретные случайны величины (ДСВ). Закон распределения ДСВ. Числовые характеристики ДСВ.
3.12. Математическое ожидание ДСВ и его свойства.
3.13. Дисперсия ДСВ и ее свойства.
3.14. Основные законы распределения дискретных СВ: биноминальное распределение, распределение Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия основных законов распределения дискретных СВ.
3.15. Понятие о непрерывных случайных величинах (НСВ). Функция распределения и плотность распределения НСВ.
3.16. Математическое ожидание и дисперсия НСВ.
3.17. Равномерное распределение. Математическое ожидание и дисперсия для равномерно распределенной на отрезке случайной величины.
3.18. Нормальное распределение. Математическое ожидание и дисперсия для нормально распределенной случайной величины.
3.19. Формула для вычисления вероятности попадания на отрезок нормально распределенной случайно величины.
