Учебная работа № 6338. «Контрольная ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА часть 3
Учебная работа № 6338. «Контрольная ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА часть 3
Содержание:
»
Задание 1. На столе лежат карточки, на которых написаны буквы Вашего полного имени; на каждой карточке – по одной букве. Карточки переворачивают буквой вниз и перемешивают. Затем карточки берут по одной, переворачивают буквой вверх и кладут друг за другом в один ряд. Какова вероятность, что в конце получится Ваше полное имя?
Задание 2. В коробке лежат 10 шаров, из них 7 шаров красного цвета, остальные синие. Из коробки наугад достали 3 шара.
1. Запишите полную систему событий такого испытания.
2. Пусть – случайная величина количества красных шаров в выборке. Запишите закон распределения данной случайной величины.
3. Какой результат опыта наиболее вероятен? Ответ обоснуйте.
Задание 3. Лампы накаливания, продающиеся в магазине, могут принадлежать одной из трех партий с вероятностями 0,2, 0,3 и 0,5. Вероятность того, что лампа бракованная, для первой партии равна 7%, для второй партии – 17%, для третьей партии – 22%. Определите вероятность того, что:
1. купленная Вами лампа не бракованная,
2. что она принадлежит:
первой партии,
второй партии,
третьей партии.
Задание 4. Задан закон распределения случайной величины :
-3 -2 -1 0 7
0,01
0,25 0,39 0,30
1. Найдите неизвестную вероятность и восстановите закон распределения. Какое значение величины наиболее вероятно при данных испытаниях?
2. Постройте многоугольник распределения вероятностей данной случайной величины.
3. Запишите функцию распределения и постройте ее график.
4. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Какие смысловые значения имеют вычисленные величины?
5. Задайте закон распределения случайной величины , если .
Задание 5. В таблице задана корреляционная зависимость между значениями переменной и соответствующими частными средними значениями .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 7 9 12 10 12 11 12 13 12
1. Рассчитайте и запишите уравнения прямой регрессии по , уравнения регрессий параболического и гиперболического видов. Ответы можно округлить до десятых.
2. Постройте эмпирическую линию регрессии.
3. На этом же поле постройте линейную, параболическую и гиперболическую линии регрессий.
4. По полученным графическим изображениям сделайте вывод, какая из этих трех моделей наиболее точно (адекватно) описывает заданную корреляционную зависимость. Ответ обоснуйте.
»
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
