Учебная работа № 6203. «Контрольная Теория вероятностей и математическая статистика. задачник Чудесенко
Учебная работа № 6203. «Контрольная Теория вероятностей и математическая статистика. задачник Чудесенко
Содержание:
(есть на выбор 1, 8 и 18 варианты)
Задача 1.
Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что а) сумма числа очков не превосходит ; б) произведение числа очков не превосходит ; в) произведение числа очков делится на .
Задача 2.
Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий сорта равно . Для контроля наудачу берут изделий. Определить вероятность того, что среди них первосортных, , и второго, третьего и четвертого сорта соответственно .
Задача 3.
Среди лотерейных билетов выигрышных. Наудачу взяли билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.
Задача 4.
В лифт этажного дома сели пассажиров . Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а) все вышли на разных этажах; б) по крайней мере, двое вышли на одном этаже.
Задача 5.
В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит величину .
Задача 6.
Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от до . Одно из событий длится 10 мин, другое – мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» во времени; б) «не перекрываются».
Задача 7.
В круге радиуса наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны и .
Задача 8.
В двух партиях и % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них: а) хотя бы одно бракованное; б) два бракованных; в) одно доброкачественное и одно бракованное?
Задача 9.
Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком , вторым – . Первый сделал , второй – выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
Задача 10.
Два игрока и поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого раньше выпадет герб. Первый бросок делает игрок , второй – , третий – и т.д.
1. Найти вероятность указанного ниже события.
Варианты 1-8. Выиграл до го броска.
2. Каковы вероятности выигрыша для каждого игрока при сколь угодно длительной игре?
Задача 11.
Урна содержит занумерованных шаров с номерами от 1 до . Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
– номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1,2,…, ;
– хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
– нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событий , и . Найти предельные значения вероятностей при
Задача 12.
Из 1000 ламп принадлежат й партии . . В первой партии 6%, во второй 5% в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
Задача 13.
В первой урне белых и черных шаров, во второй – белых и черных. Из первой во вторую переложено шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
Задача 14.
В альбоме чистых и гашеных марок. Из них наудачу извлекаются марок (среди которых могут быть и чистые, и гашеные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекается марок. Определить вероятность того, что все марок чистые.
Задача 15.
В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем й завод поставляет изделий . Среди изделий го завода первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено м заводом.
Задача 16.
Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет раз. Определить вероятность того, что цифра выпадет раз.
Задача 17.
Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна . Куплено билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.
Задача 18.
На каждый лотерейный билет с вероятностью может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью – мелкий выигрыш и с вероятностью билет может оказаться без выигрыша, . Куплено билетов. Определить вероятность получения крупных выигрышей и мелких.
Задача 19.
Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна . Поступило вызовов. Определить вероятность «сбоев».
Задача 20.
Вероятность наступления некоторого события в каждом из независимых испытаний равна . Определить вероятность того, что число наступлений события удовлетворяет следующему неравенству:
Задача 21.
Дана плотность рапределения случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .
Задача 22.
Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид . Найти: , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения случайной величины , вероятность выполнения неравенства .
Задача 23.
По данному закону распределения случайной величины найти характеристическую функцию , математическое ожидание , дисперсию случайной величины .
Задача 24.
Зная закон распределения случайной величины , найти характеристическую функцию и в вариантах 1-20 математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
Задача 25.
Дана плотность распределения случайной величины . Найти плотность распределения , математическое ожидание и дисперсию случайной величины , которая представляет собой площадь одной из указанных ниже геометрических фигур.
Задача 26.
Случайная величина имеет плотность распределения , указанную в задаче 25. Другая случайная величина связана с функциональной зависимостью Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
Задача 27.
Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей . Найти плотность распределения вероятностей случайной величины .
Задача 28.
По заданной плотности распределения случайной величины определить функцию распределения случайной величины . Функция задана графически. Построить график функции распределения и, используя дельта-функцию, найти выражение для плотности распределения случайной величины .
Задача 29.
По заданной плотности распределения двумерной случайной величины найти плотность распределения двумерной случайной величины , связанной взаимно однозначно с указанными ниже соотношениями.
Задача 30.
Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области , т.е. , где – площадь треугольника . Определить маргинальные плотности распределения и случайных величин и , математические ожидания и , дисперсии и , коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины и независимыми?
Задача 31.
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания менее чем на , где – среднее квадратическое отклонение случайной величины ; – номер варианта.
Задача 32.
Случайная величина может с одинаковой вероятностью принимать одно из двух значений: или . Выяснить удовлетворяет ли последовательность попарно независимых случайных величин закону больших чисел . Решить задачу для двух значений параметра : и .
Задача 33.
На отрезке случайным образом выбрано чисел, точнее, рассматриваются независимых случайных величин равномерно распределённых на отрезке . Найти вероятность того, что их сумма заключена между и , т.е. .
Задача 34.
Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона , неизвестным является параметр . Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра .
Задача 35.
Известно, что случайная величина имеет биномиальное распределение , неизвестным считается параметр . Используя указанный ниже метод получения точечных оценок, найти по реализации выборки значение оценки неизвестного параметра .
Задача 36.
Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией . По выборке объема вычислено выборочное среднее . Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения , отвечающий заданной доверительной вероятности .
Задача 37.
Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией . По выборке объема вычислены оценки и неизвестных параметров. Найти доверительный интервал для математического ожидания , отвечающий доверительной вероятности .
Задача 38.
В результате опытов получена несмещенная оценка для дисперсии нормальной случайной величины. Найти доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности .
Задача 39.
В серии из выстрелов по мишени наблюдалось попаданий. Найти доверительный интервал для вероятности попадания в мишень при доверительной вероятности .
Задача 40.
В серии из опытов событие не наступило ни разу. Определить число опытов , при котором верхняя доверительная граница для вероятности равна заданному числу . Доверительную вероятность принять равной 0,95.
Задача 41.
Для контроля взято 200 узлов, собранных на ученическом конвейере. Число узлов , при сборке которых пропущено операций сведено в таблицу:
0 1 2 3 4 5 6 7
41 62 45 22 16 8 4 2 Всего 200
Согласуются ли полученные результаты с распределением Пуассона ( , где – случайное число пропущенных операций) по критерию при уровне значимости ? Решить задачу для заданного значения параметра и для случая, когда параметр оценивается по выборке.
Выдержка из похожей работы
элементарных исходов равно n = 6 * 6 = 36,
Событию А
благоприятствуют пары (5;6), (6;6), (6;5), число
которых равно m = 3,
Следовательно,
Р(А) = m/n = 3/36 = 0,83+
Задача 2(39)
Приведена схема
соединения элементов, образующих цепь
с одним входом и одним выходом,
Предполагается, что отказы элементов
являются независимыми в совокупности
событиями, Отказ любого из элементов
приводит к прерыванию сигнала в той
ветви цепи, где находится данный элемент,
Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5,
6 соответственно равны q1=0,1;
q2=0,2;
q3=0,3;
q4=0,4;
q5=0,5
q6=0,6
, Найти вероятность того, что сигнал
пройдет со входа на выход,
1 2
3
Решение,
Аi
– работает
i-ый
элемент;
— не работает i-ый
элемент
=
=(0,9*0,7+0,8*0,6-0,9*0,8*0,7*0,6)*(0,5+0,4-0,5*0,4)=0,5653+
Задача 3(27)
Имеются три
одинаковых по виду ящика, В первом ящике
20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10
черных шаров, в третьем — 20 черных шаров,
Из каждого ящика вынули шар, Затем из
этих трех шаров наугад взяли один шар,
Вычислить вероятность того, что шар
белый,
Решение,
А = {вынутый шар —
белый};
Вi
= {шар вынули из i-го
ящика};
p(B1)=20/60=1/3;
p(B2)=1/3;
p(B3)=1/3
,
p(A/B1)=1;
p(A/B2)=1/2;
p(B3)=0
,
По формуле полной
вероятности
p(A)=p(B1)*p(A/B1)+p(B2)*p(A/B2)+p(B3)*p(A/B3)=
=1/3 * 1 +
1/3 * 1/2 + 1/3 * 0 =0,5
Задача 4(21)
Монету подбрасывают
восемь раз, Какова вероятность того,
что она четыре раза упадет гербом вверх?
Решение,
Вероятность
выпадения монеты гербом вверх p=1/2
