Учебная работа № 4823. «Контрольная Высшая математика, вариант 4
Учебная работа № 4823. «Контрольная Высшая математика, вариант 4
Содержание:
Контрольная работа №1.
Вариант 4.
114. Даны матрицы:
Найдите матрицу С = АВ; обратную матрицу С-1 (и сделать проверку); решить систему СХ = b с помощью обратной матрицы.
124. Используя теорему Кронекера – Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений:
Найти общее решение методом Гаусса и какое-либо частное решение.
134. Даны точки А(-4;1;-1), В(-2;2;-2) и С(-1;0;-1). Вычислить:
а) скалярное произведение
б) векторное произведение
в) смешанное произведение
144. Даны вершины треугольника А1(3;1) , А2(-3;-7), А3(0;5). Составить уравнения медианы А1М и высоты А1Н , проведённые из вершины А1.
154. Найти расстояние точки М(2; 3; -1) от прямой
164. Линия на плоскости задана уравнением в полярной системе координат:
а) Построить линию по точкам, придавая ? значения с шагом 150 (вычисления проводить с двумя знаками после запятой);
б) перейти от полярного уравнения к её декартовому уравнению и построить кривую.
174. Даны косплексные числа и
а) Вычислить
б) найти модуль и аргумент числа z
в) записать число z в тригонометрической и показательной формах;
г) используя формулу Муавра, представить в алгебраической форме число z3
д) найти все значения корня и построить их на комплексной плоскости.
Контрольная работа 2.
Задание 4
Найти область определения и построить графики функций.
а) б) .
Задание 14
Построить кривые, заданные
Задание 24
Построить кривую в полярной системе координат:
Задание 34
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя
а) б) в) г) д)
Задание 44
Заданы функции и два значения аргумента и .
Требуется
а) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
б) в случае разрыва функции найти ее пределы слева и справа;
в) сделать схематический чертеж
Задание 54
Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
, если
, если
, если
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
