Учебная работа № 4712. «Контрольная Математика, вариант 3
Учебная работа № 4712. «Контрольная Математика, вариант 3
Содержание:
Задание 1.3
Предприятие выпускает изделия А и Б, при изготовлении которых используется сырье С1 и С2. Известны запасы bi, (i = 1, 2) сырья, нормы аij (j=1, 2) его расхода на единицу изделия, оптовые цены рj на изделия и их плановая себестоимость с0j. Как только объем выпускаемой продукции перестает соответствовать опти¬мальным размерам предприятия, дальнейшее увеличение выпуска хj ведет к повышению себестоимости продукции и в первом приближении фактическая себестоимость сj описывается функцией с/ = с0j + с`j xj , где с`j — некоторая постоянная величина. При поиске плана выпуска изде¬лий, обеспечивающего предприятию наивысшую прибыль в условиях нарушения баланса между объемом выпуска и оптимальными размерами предприятия, целевая функция принимает вид f = (р1 -(с°1+ с`1 х1)) х1 + (р2 – (с°2+ с`2 х2)) х2, а ограничения по сырью а11 х1 + а12х2 b1, а21 х1 + а22х2 b2, x1 0 , x2 0 .
Требуется:
1) составить математическую модель задачи примени¬тельно к числовым данным выполняемого варианта;
2) графическим методом решить полученную задачу и сформулировать ответ в экономических терминах в со¬ответствии с условиями задачи.
b1 b2 a11 a12 a21 a22 p1 p2 c10 c20 c1’ =c2’
60 10 11 8 1 2 10 11 7 9 0,1
Задание 2.3
На заданной сети указаны пропускные спо¬собности ребер. Предполагается, что пропускные спо¬собности в обоих направлениях одинаковы.
Требуется:
1) сформировать на сети поток максимальной мощно¬сти, направленный из истока I в сток S;
2) выписать ребра, образующие на сети разрез минимальной пропускной способности.
Задание 2.33
Рассчитать непосредственно на сетевом гра¬фике комплекса работ ранние и поздние сроки свершения событий, резервы времени событий, минимальное время выполнения комплекса (критический срок). Выделить на сетевом графике критический путь .Для некрити¬ческих работ найти полные и свободные резервы времени.
На основе выполненных расчетов установить:
1) как повлияет на срок выполнения комплекса увели¬чение продолжительности работы (т, n), работы (r, s);
2) можно ли использовать полный резерв времени работы (е, f) для увеличения продолжительности работы (f, k) и работы (k, l), не увеличивая время выпол¬нения комплекса;
3) изменится ли полный резерв времени работы (р, q), если время выполнения комплекса возрастет за счет увеличения продолжительности работы (r, s).
Все необходимые числовые данные приведены в табл.
Номер задачи Работа
(т, п) (r, s) (e, f) (f, k) (k,l) (р, q)
2.33 (3, 8) (7, 9) (1, 6) (6, 8) (8, 9) (1, 5)
Задание 3.3. На данной сети дорог (рис.) имеется несколько маршрутов, по которым можно доставлять груз
из пункта 1 в пункт 10. Известны стоимости сij перевозки единицы груза между пунктами сети. Требуется:
1) методом динамического программирования найти на сети наиболее экономный маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10 и соответствующие ему затраты;
2) выписать оптимальные маршруты перевозки груза из всех остальных пунктов сети в пункт 10 и указать отвечающие им минимальные затраты на доставку.
Все необходимые числовые данные приведены в табл
Тариф 3.3
c12 9 c47 5
c13 2 c58 8
c14 5 c59 7
c25 3 c68 1
c27 7 c69 4
c35 4 c79 5
c36 6 c8,10 9
c37 8 c9,10 5
c45 1
c46 3
Задание 4.3 После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование оказывается в одном из следующих состояний: B1 — оборудование может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; В2 — для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; В3 — оборудование требует капитального ремонта или замены.
В зависимости от сложившейся ситуации B1, B2, B3 руководство предприятия может принять такие решения: A1 — отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что потребует соответствующих затрат а1,а2,а3 ден. ед.; A2 — вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b1 ,b2 ,b3 ден.ед.; A3 — заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости. Совокупные затраты в результате этого мероприятия будут равны соответственно c1 c2 ,c3 ден. ед.
Задание
1. Придав описанной ситуации игровую схему, выявить ее участников, указать возможные чистые стратегии сторон.
2. Составить платежную матрицу, пояснив смысл элементов aij матрицы (почему они отрицательные?).
3. Выяснить, какое решение о работе оборудования в предстоящем году целесообразно рекомендовать руководству предприятия, чтобы минимизировать потери при следующих предположениях: а) накопленный на предприятии опыт эксплуатации аналогичного оборудования показывает, что вероятности указанных состояний оборудования равны соответственно q1 q2 q3 (примените критерий Байеса); б) имеющийся опыт свидетельствует о том, что все три возможных состояния оборудования равновероятны (примените критерий Лапласа); в) о вероятностях оборудования ничего определенного сказать нельзя (примените критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица). Значение параметра ? в критерии Гурвица задано.
Числовые данные задачи приведены в таблице
Параметры задачи
3
а 1
а 2
а 3
7
11
9
b 1
b 2
b 3 6
8
16
c 1
c 2
c 3 21
10
12
q 1
q 2
q 3 0,15
0,6
0,25
? 0,5
Выдержка из похожей работы
Найдём ранг основной
матрицы системы с помощью элементарных
преобразований:
~
~
Таким образом,
= 2
Так как ранг системы
меньше числа неизвестных, то система
имеет ненулевые решения, Размерность
пространства решений этой системы: n
– r
= 4 – 2 = 2
Преобразованная
система имеет вид:
<=>
<=>
<=>
Эти формулы дают
общее решение, В векторном виде его
можно записать следующим образом:
=
=
=
*
+
где
,
− произвольные числа
Вектор−столбцы:
=
и
=
образуют базис
пространства решений данной системы,
Задание 74,
Даны два линейных
преобразования, Средствами матричного
исчисления найти преобразование,
выражающее x1′′,
x2′′,
x3′′
через x1,
x2,
x3
Решение
Первое линейное
преобразование:
= A
*
имеет матрицу А =
Второе:
= B
*
имеет матрицу В =
(*)
Тогда если в (*)
вместо В и
поставить соответствующие матрицы,
получим:
C
= B
* A
, то есть
C
=
*
=
Поэтому искомое
линейное преобразование имеет вид:
=
*
Задание 84,
Найти собственные
значения и собственные векторы линейного
преобразования, заданного в некотором
базисе матрицей,
Составляем
характеристическое уравнение матрицы:
=
= 0
(5−λ)
*
+ 7 *
+ 0 *
= 0
(5−λ)
(1−λ)
(−3−λ)
+ 7 (−3) (−3−λ)
= 0 (**)
(5−6λ+)
(−3−λ)
+ 63 + 21λ
= 0
−15 +18λ
− 3
− 5λ
+ 6
−
+ 63 + 21λ
= 0
48 + 34λ
+ 3
−
= 0 <=> (**) (λ
– 8) (λ
+ 2) (λ
+ 3) = 0
то есть
= 8 ,
= −3 ,
= −2
При
= 8 система имеет вид:
=>
Выразим
через :
4 * (−7)
+ 6
= 11
−22
= 11
=>
= −0,5
Выразим
через :
12
+ 6*()
= 11
84
− 18
= 77
66
= 77
=>
= 1
Таким образом,
числу
= 8 соответствует собственный вектор:
=
=
=
где
− произвольное действительное число
Аналогично для
= −3
<=>
=
= 0
Таким образом,
числу
= −3 соответствует собственный вектор
=
=
=
Наконец для
= −2 решаем систему:
=>
то есть вектор
=
=
=
Итак, матрица А
имеет три собственных значения:
= 8 ,
= −3 ,
= −2, Соответствующие им собственные
векторы (с точностью до постоянного
множителя) равны:
=
=
=
Задача 94,
Привести к
каноническому виду уравнение линии
второго порядка, используя теорию
квадратичных форм,
Левая часть
уравнения
представляет собой квадратичную форму
с матрицей:
А =
Решаем
характеристическое уравнение:
= 0 , то есть
= 0
<=> (5−λ)
(3−λ)
= 8
− 8λ
+ 7 = 0
= 1 ,
= 7
Найдём собственные
векторы из системы уравнений
при
= 1 ,
= 7
Если
= 1 , то:
=>
=
Значит собственный
вектор
=
для
= 1
Если
= 7 , то:
=>
=
значит собственный
вектор
=
для
= 7
Нормируем собственные
векторы, по правилу:
=
, получаем:
=
=
Составляем матрицу
перехода от старого базиса к новому:
T
=
Выполняя
преобразования:
= T
=
*
=
=>
x
=
+
, y
= +
Подставим полученные
x
и y
в исходное уравнение и полученное
уравнение упростим:
5
+
+ 3
= 14
+
+ 22
+
= 14
+ 10
+ 10
− 8
− 4
+ 8
+ 6
− 6
+ 3
= 42
+ 21
= 42 =>
+
= 1 – каноническое уравнение эллипса
