Учебная работа № 4626. «Контрольная Алгебра, контрольная работа №1
Учебная работа № 4626. «Контрольная Алгебра, контрольная работа №1
Содержание:
«Задание 1
Найти частные производные первого и второго порядка, градиент функции в точке и производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси .
, , .
Задание 2
Исследовать данную функцию на экстремум:
.
Задание 3
60 требуется: 1) построить на плоскости xOy область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования; 3) вычислить площадь области при заданном и изменённом порядках интегрирования.
Задание 4
С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной данными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).
;
Контрольная работа 2
Задание 1
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
Задание 2
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.
; .
Задание 3
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
.
Задание 4
a) исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд; б) исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд; в) найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.
а) ; б) ; в) .
»
Выдержка из похожей работы
систему линейных уравнений удобно
записывать и решать в виде матрицы, т,е,
в виде прямоугольной таблицы коэффициентов
(вертикальной чертой отделены свободные
члены):
(1)
С помощью первого
уравнения (первой строки матрицы)
исключим x1
из всех последующих уравнений (аннулируем
все элементы первого столбца, кроме 1 в
первой строке), Для этого первую строку
прибавим к третьей (во второй уже стоит
0), а затем первую строку, умноженную на
-1, прибавим к четвертой, При этом единицу,
с помощью которой »очищается» столбец
матрицы, будем называть разрешающим
элементом, Разрешающий элемент будем
давать в квадратике на каждом шаге
решения задачи:
(2)
Система (2) равносильна
системе (1), так как (2) получена из (1) с
помощью нескольких элементарных
преобразований, В системе (2) с помощью
второго уравнения исключим второе
неизвестное из третьего и четвертого
уравнений (аннулируем вторые элементы
в третьей и четвертой строках), Для этого
вторую строку прибавим к третьей и
вторую строку, умноженную на три, прибавим
к четвертой (есть новый разрешающий элемент):
(3)
Аннулируем теперь
в матрице (3) третий элемент четвертой
строки, Этим соответствующая система
линейных уравнений приведется к
равносильной треугольной системе
(третье уравнение, умноженное на 7,
прибавляем к четвертому):
(4)
Заметим, что систему
(4) можно было оставить в матричной
записи, Из четвертого уравнения находим
и
подставляем в третье уравнение, Затем
получаемПодставив найденные значения,
во втором уравнении, запишем,
Аналогично из
первого уравнения
Ответ:
{(1,-1,-2,2)},
2 Способ,
Предыдущее решение можно ускорить в
двух направлениях, Во-первых, необязательно
брать сначала первое уравнение, затем
второе, третье, так как при этом могут
исчезать уже готовые нули и возникать
неудобства из-за неподходящих
коэффициентов, Во-вторых, исключать
неизвестные в столбце можно по направлению
не только »вниз», но и »вверх», оставляя
в столбце лишь один коэффициент, не
равный нулю (метод Жордана-Гаусса), В
матрице (1) в первом столбце аннулируем
все элементы с помощью третьей строки,
т,е, элемент, стоящий в первом столбце
и третьей строке, выбираем в качестве
разрешающего элемента:
(1’)
Это позволяет
сохранить стоящий в третьей строке
нуль:
(2’)
Использование
первой строки для элементарных
преобразований в матрице (2′) сохранит
нуль, стоящий в первой строке на четвертом
месте:
(3’)
Четвертую строку
в матрице (3′) умножаем на 2 и прибавляем
к ней умноженную на 3 вторую строку:
(4’)
Четвертую строку
в матрице (4′) сокращаем на –17 перед ее
использованием:
(5’)
Можно еще сократить
вторую строку на 2 и изменить знак в
третьей строке, а затем так переставить
уравнения (строки в матрице), чтобы
неисключенные неизвестные выстроились
по диагонали (хотя это необязательно):
(6’)
Система (6′) в обычной
записи имеет вид
,т,е
