Учебная работа № 341491. Тема: Математическое ожидание и его свойства

Учебная работа № 341491. Тема: Математическое ожидание и его свойства

Выдержка из похожей работы

…

Интервальное оценивание параметров нормально распределенной случайной величины. Доверительные интервалы для математического ожидания

…….етра. Сама оценка является случайной
величиной, и если известно ее распределение
или хотя бы дисперсия, то можно указать
пределы, в которых с достаточно большой
вероятностью лежит неизвестное значение
параметра. Эти пределы легко вычисляются
через дисперсию. Важно понимать, что
пользоваться полученными знаниями
пределов можно, только если они не
зависят от самого оцениваемого параметра.

Зададимся достаточно малой с практической
точки зрения вероятностью α и рассмотрим
выборку x1, x2,
…..,xn
из генеральной совокупности, отвечающей
случайной величине ξ, имеющей распределение
Fξ
(x,θ), где θ – неизвестный
параметр. Предположим, что удалось найти
две такие функции θ1(x1,
x2, …..,xn)
и θ2 (x1, x2,
…..,xn)
, для которых:

1) θ1(x1, x2,
…..,xn)
2 (x1, x2,
…..,xn)
при всех x1, x2,
…..,xn
;

2) Р (θ12) = 1 – α

В этом случае интервал (θ1, θ2)
называется доверительным интервалом
для параметра θ, соответствующим
доверительной вероятности 1-α.

Распределение
статистических оценок в большинстве
случаев достаточно точно описывается
такими законами распределения, как
нормальный, хи-квадрат,
Стьюдента, Фишера — Снедекора. Нормальное
распределение было рассмотрено ранее.
Рассмотрим остальные виды распределения.

1.
Распределение хи
— квадрат

Определение.
Пусть Х1,
Х2,…Хп
—
независимые нормально распределенные
случайные величины с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратичным
отклонением, равным единице. Тогда закон
распределения суммы квадратов случайных
величин

называется
законом хи-квадрат
с n
степенями свободы.

Плотность
распределения случайной величины
имеет
вид

где

— гамма – функция, для которой выполняется
равенство Г(n+1)=n!.

Для
случайной величины

плотность распределения имеет вид

2.
Распределение Стьюдента

Определение.
Пусть X0,Х1,Х2,…,Хn
—

независимые нормально распределенные
случайные величины с нулевыми
математическими ожиданиями и средними
квадратичными отклонениями, равными
единице. Тогда случайная величина

имеет
распределение Стьюдента (T
— распределение) с n
степенями свободы.

В
практических задачах используется
также случайная величина

имеющая
распределение Стьюдента с n-1
степенью свободы.

Плотность
вероятность случайной величины Т
имеет вид

где

3.
Распределение Фишера—Снедекора

Определение.
Пусть Х1,Х2,…,Хn,
У1,
Y2,…Ym
—
независимые
нормально распределенные случайные
величины с нулевыми математическими
ожидан
…