Учебная работа № 341375. Тема: Некоторые замечательные пределы

Учебная работа № 341375. Тема: Некоторые замечательные пределы

Выдержка из похожей работы

…

Введение в математический анализ (2)

…….-1)n}
или {xn}
= -1; 1; -1; 1; …

{xn}
= {sinn/2}
или {xn}
= 1; 0; 1; 0; …
Для
последовательностей можно определить
следующие операции:

Умножение
последовательности на число m:
m{xn}
= {mxn},
т.е. mx1,
mx2,
…
Сложение
(вычитание) последовательностей: {xn}

{yn}
= {xn

yn}.
Произведение
последовательностей: {xn}{yn}
= {xnyn}.
Частное
последовательностей:

при {yn}

0.

Ограниченные и неограниченные
последовательности.
Определение.
Последовательность {xn}
называется ограниченной,
если существует такое число М>0, что
для любого n
верно неравенство:

т.е. все
члены последовательности принадлежат
промежутку (-М; M).
Определение.
Последовательность {xn}называется
ограниченной сверху,
если для любого n
существует такое число М, что
xn

M.
Определение.
Последовательность {xn}называется
ограниченной снизу,
если для любого n
существует такое число М, что
xn

M
Пример.
{xn}
= n
– ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение.
Число а
называется пределом
последовательности {xn},
если для любого положительного >0
существует такой номер N,
что для всех n
> N
выполняется условие:

Это
записывается: lim
xn
= a.
В этом
случае говорят, что последовательность
{xn}сходится
к а при n.
Свойство:
Если отбросить какое- либо число членов
последовательности, то получаются новые
последовательности, при этом если
сходится одна из них, то сходится и
другая.
Пример.
Доказать, что предел последовательности
lim

.
Пусть
при n
> N
верно
,
т.е.
.
Это верно при
,
таким образом, если за N
взять целую часть от
,
то утверждение, приведенное выше,
выполняется.
Пример.
Показать, что при n
последовательность 3,

имеет пределом число 2.
Итого:
{xn}=
2 + 1/n;
1/n
= xn
– 2
Очевидно,
что существует такое число n,
что
,
т.е. lim
{xn}
= 2.
Теорема.
Последовательность не
может иметь более одного предела.
Доказательство.
Предположим, что последовательность
{xn}имеет
два предела a
и b,
не равные друг другу.

xn

a;
xn

b;
a

b.
Тогда
по определению существует такое число

>0, что

Запишем
выражение:

А т.к.
-
любое число,
то
,
т.е. a
= b.
Теорема доказана.
Теорема.
Если xn

a,
то
.
Доказательство.
Из xn

a
следует, что
.
В то же время:
,
т.е.

, т.е.
.
Теорема доказана.
Теорема.
Если xn

a,
то последовательность {xn}
ограничена.
Следует отметить, что обратное
утверждение неверно, т.е. из ограниченнос
…