Учебная работа № 341429. Тема: Задача о брахистохроне

Учебная работа № 341429. Тема: Задача о брахистохроне

Выдержка из похожей работы

…

Понятие о вариационных задачах механики

…….к принципу
Гамильтона, и решается аналогичным
способом.
Рассмотрим
интеграл

и пусть в плоскости x,y
имеется однопараметрическое семейство
кривых, проходящих через две точки
плоскости (рис.1):

,
(1)
где 
— произвольный параметр.

y

y2

y1

a
b x

Рис.1
Тогда,
рассматриваемый определённый интеграл,
на отрезке axb
будет функцией только параметра ,
т. е.:

(2)
При некотором значении
параметра 
этот интеграл достигнет экстремального
значения. Для функции одной переменной
это условие имеет вид:

(3)
Произведём дифференцирование
под знаком интеграла (2), учитывая, что
x
не зависит от :

(4)
Вычислим второй интеграл в
правой части выражения (4), путём
интегрирования по частям:
,
(5)
где величины (dy/d)a=(
dy/d)b=0,
так как все кривые семейства проходят
через точки (a,y1)
и (b,y2)
(рис.1). На основании равенств (5) выражение
(4) принимает следующий вид:

(6)

Условие экстремума (3) интеграла
(2) будет выполнено только в том случае,
когда подынтегральная функция в правой
части выражения (6) равна нулю. Так как
производная dy/d
равна нулю только на концах отрезка
[a,b],
то, в общем случае, условие экстремума
интеграла (2) запишется в виде уравнения:

(7)
Следовательно, интеграл

будет иметь экстремум только для таких
кривых y(x),
которые удовлетворяют дифференциальному
уравнению (7). Это уравнение похоже на
уравнение Лагранжа в форме (26) (Лекция
12).
Рассмотрим
пример, заложивший основы вариационного
исчисления. Это задача о, так называемой,
брахистохроне (линии наибыстрейшего
спуска), предложенная и решённая Иваном
Бернулли в 1696 г.. Пусть материальная
точка, начальная скорость которой V0=0,
скользит под действием своего веса по
некоторой гладкой к
…